結果

問題 No.260 世界のなんとか3
ユーザー rpy3cpprpy3cpp
提出日時 2015-12-09 16:54:15
言語 Python3
(3.13.1 + numpy 2.2.1 + scipy 1.14.1)
結果
AC  
実行時間 54 ms / 2,000 ms
コード長 4,703 bytes
コンパイル時間 236 ms
コンパイル使用メモリ 12,800 KB
実行使用メモリ 11,136 KB
最終ジャッジ日時 2024-11-07 18:09:55
合計ジャッジ時間 2,326 ms
ジャッジサーバーID
（参考情報） 		judge2 / judge5
このコードへのチャレンジ
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ファイルパターン 結果
sample AC * 3
other AC * 27
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ソースコード

diff # 

'''
解法：
0 から A までの数字を、10000個ごとに区切って考える。
すると、
下5桁以上の部分に 3 が含まれていれば、条件を満たすものは 8750 = 10000 * (1-1/8) 個あり、
下5桁以上の部分に 3 が含まれていなければ、条件をみたすものは 5000 個ある。
例：
1230000 から 1239999 には、条件を満たすものは 8750 個、
1240000 から 1249999 には、条件を満たすものは 5000 個ある。

したがって、0 から (A//10000) までに、3を含む数字が何個あるか ( = x とする) を数えれば、
8750 * x + 5000 * (A//10000) が条件を満たす個数となる。
10000 未満の端数については、ナイーブな方法で1つずつ数え上げていけばよい。


説明：
8 の倍数は下3桁のみで該当するか否かを判断できる。
下4桁目をバッファーとして使うと、10000個単位での条件を満たす数値の個数は、下から5桁目より上に3が含まれるか否かだけで決まる。

(1)5桁目より上に3が含まれている場合
 8 の倍数でなければ、条件を満たす。よって、10000個のうち、7/8が条件を満たす。

(2)5桁目より上に3が含まれていない場合
(2.1)下4桁に3が含まれている場合
　下4桁が8の倍数でなければ、条件を満たす。このような数の個数は、下4桁のみで決まり、5桁目より上の数に依存しない。
 すなわち、10000 個単位でみた場合に、(2.1)のケースで条件を満たす個数は、5桁目より上の数によらず一定である。
(2.2)下4桁に3が含まれていない場合
　8の倍数でなく、数値全体が3の倍数であれば、条件を満たす。
 8の倍数か否かは下3桁で決まるので、5桁目より上の数値がいくつであるかは影響しない。
 数値全体が3の倍数となるのは、各桁の数値の和が3の倍数となる場合である。
 5桁目より上の各桁の数値の和を r
 下3桁の各桁の数値の和を s
 4桁目の数値を t とする。 t != 3 なので、t = {0,1,2,4,5,6,7,8,9} である。
 すると、どのような (r, s) に対しても、(r + s + t) % 3 = 0 となる t を 3種類選ぶことができる。
 たとえば、
(r + s) % 3 = 0 のときは、t = 0, 6, 9 を選ぶことができ、
(r + s) % 3 = 1 のときは、t = 2, 5, 8 を選ぶことができ、
(r + s) % 3 = 2 のときは、t = 1, 4, 7 を選ぶことができる。
すなわち、どのような r, s に対しても、条件を満たす（3の倍数となる）数を3つ作ることができる。
 s がとりうるパターンは、rによらず一定なので、10000個単位でみると、(2.2)のケースで条件を満たす数の個数は、5桁目より上の数によらず、一定である。

(2.1), (2.2) より、(2)のケースで条件を満たすものの個数は、一定となる。
一定値が具体的にいくつであるかは、試しに計算してみれば分かる。 -> 5000 だった。
8 の倍数でなく、80の倍数、800の倍数のときも同様に、100,000個単位、1,000,000個単位で考えることができる。
'''

def solve(A, B):
    return (f(B) - f(A) + is_valid(A)) % (10**9 + 7)


def is_valid(A):
    if len(A) < 4:
        a = int(A)
        return (('3' in A) or (a % 3 == 0)) and (a % 8 != 0)
    sumA = sum(map(int, A))
    lowerA = int(A[-3:])
    return (('3' in A) or (sumA % 3 == 0)) and (lowerA % 8 != 0)


def f(A):
    return fcore(A, 8, 4, 8750, 3750)

def f_naive(n, P, cum=0):
    cum %= 3
    count = 0
    for i in range(n + 1):
        if i % P == 0:
            continue
        if ('3' in str(i)) or ((i + cum) % 3 == 0):
            count += 1
    return count


def fcore(A, P, d, large, small):
    mod = 10**9 + 7
    inv9 = 111111112
    inv10 = 700000005
    if len(A) <= d:
        return f_naive(int(A), P)
    head = A[:-d]
    tail = A[-d:]
    n = len(head) - 1
    pow10 = pow(10, n, mod)
    pow9 = pow(9, n, mod)
    cum0 = 0
    cum1 = 0
    has_no_3 = True
    for a in head:
        m = ord(a) - 48  # ord('0') = 48
        cum0 = (cum0 + pow10 * m) % mod
        pow10 = (pow10 * inv10) % mod
        if has_no_3:
            if m == 3:
                has_no_3 = False
            m -= m > 3
            cum1 = (cum1 + pow9 * m) % mod
            pow9 = (pow9 * inv9) % mod
    if has_no_3:
        cum = sum(map(int, head))
        return (large * cum0 - small * cum1 + f_naive(int(tail), P, cum)) % mod
    else:
        return (large * cum0 - small * cum1 + int(tail) - int(tail)//P) % mod

A, B = input().split()
print(solve(A, B))
0