#689916 (C++14) No.1648 Sum of Powers

提出ソース

結果

問題	No.1648 Sum of Powers
ユーザー	ecottea
提出日時	2021-08-14 15:59:18
言語	C++14 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果	WA
実行時間	-
コード長	14,936 bytes
コンパイル時間	4,906 ms
コンパイル使用メモリ	260,268 KB
実行使用メモリ	5,760 KB
最終ジャッジ日時	2024-10-05 10:59:15
合計ジャッジ時間	8,834 ms
ジャッジサーバーID （参考情報）	judge1 / judge2

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テストケース

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入力	結果	実行時間実行使用メモリ
testcase_00	AC	13 ms 5,504 KB
testcase_01	AC	4 ms 5,248 KB
testcase_02	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_03	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_04	AC	9 ms 5,248 KB
testcase_05	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_06	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_07	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_08	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_09	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_10	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_11	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_12	AC	9 ms 5,248 KB
testcase_13	AC	7 ms 5,248 KB
testcase_14	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_15	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_16	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_17	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_18	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_19	AC	9 ms 5,248 KB
testcase_20	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_21	AC	8 ms 5,248 KB
testcase_22	AC	20 ms 5,632 KB
testcase_23	AC	15 ms 5,760 KB
testcase_24	AC	14 ms 5,632 KB
testcase_25	AC	17 ms 5,632 KB
testcase_26	AC	14 ms 5,632 KB
testcase_27	AC	15 ms 5,504 KB
testcase_28	AC	20 ms 5,504 KB
testcase_29	AC	17 ms 5,504 KB
testcase_30	AC	19 ms 5,632 KB
testcase_31	WA	-
testcase_32	AC	18 ms 5,632 KB
testcase_33	AC	15 ms 5,760 KB
testcase_34	AC	14 ms 5,632 KB
testcase_35	AC	17 ms 5,632 KB
testcase_36	AC	16 ms 5,632 KB
testcase_37	WA	-
testcase_38	WA	-
testcase_39	WA	-
testcase_40	WA	-
testcase_41	WA	-
testcase_42	AC	21 ms 5,632 KB
testcase_43	AC	21 ms 5,504 KB
testcase_44	AC	22 ms 5,504 KB
testcase_45	AC	22 ms 5,760 KB
testcase_46	AC	21 ms 5,632 KB
testcase_47	WA	-
testcase_48	AC	3 ms 5,248 KB
testcase_49	AC	9 ms 5,248 KB
testcase_50	AC	9 ms 5,248 KB
testcase_51	AC	3 ms 5,248 KB
testcase_52	AC	14 ms 5,504 KB
testcase_53	AC	13 ms 5,632 KB
testcase_54	AC	13 ms 5,504 KB
testcase_55	AC	21 ms 5,632 KB
testcase_56	AC	23 ms 5,760 KB
testcase_57	WA	-

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ソースコード

raw source code

#ifndef HIDDEN_IN_VISUAL_STUDIO // 無意味．折りたたむのが目的．

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// 使えるライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
#include <functional> // function
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;
using vll = vector<ll>;		using vvll = vector<vll>;	using vvvll = vector<vvll>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;

// 定数の定義
const double PI = 3.14159265359; // 円周率
const double DEG = PI / 180.0; // θ [deg] = θ * DEG [rad]
const vi dx4 = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi dy4 = { 0, 1, 0, -1 };
const vi dx8 = { 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1 }; // 8 近傍
const vi dy8 = { 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1 };
const ll INFL = (ll)1e18;	const int INF = (int)1e9;
const double EPS = 1e-10; // 許容誤差に応じて調整

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repbm(mid, set, d) for(int mid = set; mid < (1 << int(d)); mid = (mid + 1) | set) // set を含む部分集合の全探索（昇順）
#define repbs(sub, set) for (int sub = set, bsub = 1; bsub > 0; bsub = sub, sub = (sub - 1) & set) // set の部分集合の全探索（降順）
#define repbc(set, k, d) for (int set = (1 << k) - 1, lb, nx; set < (1 << n); lb = set & -set, nx = set + lb, set = (((set & ~nx) / lb) >> 1) | nx) // 大きさ k の部分集合の全探索
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define repit(it, a) for(auto it = (a).begin(); it != (a).end(); ++it) // イテレータを回す（昇順）
#define repitr(it, a) for(auto it = (a).rbegin(); it != (a).rend(); ++it) // イテレータを回す（降順）
#define Yes(b) if(b){cout << "Yes" << endl;}else{cout << "No" << endl;}

// 汎用関数の定義
inline ll pow(ll n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } // 工夫が必要なほど k が大きかったらどうせオーバーフローするからこれでいい
inline ll pow(int n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）

// 入出力用の >>, << のオーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>> (istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } // pair の入力用
template <class T, class U> inline ostream& operator<< (ostream& os, const pair<T, U>& p) { os << "(" << p.first << "," << p.second << ")"; return os; } // pair の出力用
template <class T, class U, class V> inline istream& operator>> (istream& is, tuple<T, U, V>& t) { is >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t); return is; } // tuple の入力用
template <class T, class U, class V> inline ostream& operator<< (ostream& os, const tuple<T, U, V>& t) { os << "(" << get<0>(t) << "," << get<1>(t) << "," << get<2>(t) << ")"; return os; } // tuple の出力用
template <class T, class U, class V, class W> inline istream& operator>> (istream& is, tuple<T, U, V, W>& t) { is >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t); return is; } // tuple の入力用
template <class T, class U, class V, class W> inline ostream& operator<< (ostream& os, const tuple<T, U, V, W>& t) { os << "(" << get<0>(t) << "," << get<1>(t) << "," << get<2>(t) << "," << get<3>(t) << ")"; return os; } // tuple の出力用
template <class T> inline istream& operator>> (istream& is, vector<T>& v) { rep(i, sz(v)) is >> v[i]; return is; } // vector の入力用
template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, const vector<T>& v) { rep(i, sz(v)) os << v[i] << " "; return os; } // vector の出力用
template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, const set<T>& s) { repe(x, s) os << x << " "; return os; } // set の出力用

// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#define popcount (int)__popcnt // 全ビットにおける 1 の個数
#define popcountll (int)__popcnt64
inline int ctz(unsigned int n) { unsigned long i; _BitScanForward(&i, n); return i; } // 下位ビットに並ぶ 0 の個数
ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } // 最大公約数
#define dump(x) cerr << "[DEBUG] " << endl << x << endl; // デバッグ出力用
#define dumpel(v) cerr << "[DEBUG]" << endl; for (const auto& x : v) {cout << x << endl;}
// 提出用（GCC）
#else
#define popcount (int)__builtin_popcount
#define popcountll (int)__builtin_popcountll
#define ctz __builtin_ctz
#define gcd __gcd
#define dump(x) 
#define dumpel(v) 
#endif

#endif // 無意味．折りたたむのが目的．


//-----------------AtCoder 専用-----------------
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

// mint で使いたい法によってここを切り替える
//using mint = modint1000000007;
using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(10000); // mint の法の指定

istream& operator>> (istream& is, mint& x) { ll tmp; is >> tmp; x = tmp; return is; } // mint の入力用
ostream& operator<< (ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } // mint の出力用
using vm = vector<mint>;	using vvm = vector<vm>;		using vvvm = vector<vvm>;
//----------------------------------------------


//【行列】
/*
* 行列を表す構造体
*
* Matrix(m, n) : O(m n)
*	m * n 零行列で初期化する．
*
* Matrix(n) : O(n^2)
*	n * n 単位行列で初期化する．
*
* Matrix(a) : O(m n)
*	配列 a の要素で初期化する．
*
* A + B : O(m n)
*	m * n 行列 A, B の和を返す．+= も使用可．
*
* A - B : O(m n)
*	m * n 行列 A, B の差を返す．-= も使用可．
*
* c * A ／ A * c : O(m n)
*	m * n 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す．*= も使用可．
*
* A * v : O(m n)
*	m * n 行列 A と n 次元列ベクトル v の積を返す．
*
* v * A : O(m n)
*	m 次元行ベクトル v と m * n 行列 A の積を返す．
*
* A * B : O(l m n)
*	l * m 行列 A と m * n 行列 B の積を返す．
*
* pow(d) : O(n^3 log d)
*	自身を d 乗した行列を返す．
*/
template <class T>
struct Matrix {
	int m, n; // 行列のサイズ（m 行 n 列）
	vector<vector<T>> v; // 行列の成分


	// コンストラクタ（初期化なし）
	Matrix() {}

	// コンストラクタ（零行列で初期化）
	Matrix(const int& m_tmp, const int& n_tmp) : m(m_tmp), n(n_tmp), v(m_tmp, vector<T>(n_tmp)) {}

	// コンストラクタ（単位行列で初期化）
	Matrix(const int& n_tmp) : m(n_tmp), n(n_tmp), v(n_tmp, vector<T>(n_tmp)) {
		rep(i, n) {
			v[i][i] = 1;
		}
	}

	// コンストラクタ（二次元配列で初期化）
	Matrix(const vector<vector<T>>& a) : m(sz(a)), n(sz(a[0])), v(a) {}

	// コピーコンストラクタ
	Matrix(const Matrix& old) = default;


	// 代入
	Matrix& operator=(const Matrix& other) = default;

	// 入力
	friend istream& operator>>(istream& is, Matrix& mat) {
		rep(i, mat.m) {
			rep(j, mat.n) {
				is >> mat.v[i][j];
			}
		}
		return is;
	}

	// 出力
	friend ostream& operator<<(ostream& os, const Matrix& mat) {
		rep(i, mat.m) {
			rep(j, mat.n) {
				os << mat.v[i][j] << ' ';
			}
			os << endl;
		}
		return os;
	}

	// 比較
	bool operator==(const Matrix& other) const {
		return m == other.m && n == other.n && v == other.v;
	}

	// 加算
	Matrix operator+(const Matrix& other) const {
		Matrix res(m, n);
		rep(i, m) {
			rep(j, n) {
				res.v[i][j] = v[i][j] + other.v[i][j];
			}
		}
		return res;
	}
	Matrix& operator+=(const Matrix& other) {
		rep(i, m) {
			rep(j, n) {
				v[i][j] += other.v[i][j];
			}
		}
		return *this;
	}

	// 減算
	Matrix operator-(const Matrix& other) const {
		Matrix res(m, n);
		rep(i, m) {
			rep(j, n) {
				res.v[i][j] = v[i][j] - other.v[i][j];
			}
		}
		return res;
	}
	Matrix& operator-=(const Matrix& other) {
		rep(i, m) {
			rep(j, n) {
				v[i][j] -= other.v[i][j];
			}
		}
		return *this;
	}

	// 右からのスカラー倍
	Matrix operator*(const T& sc) const {
		Matrix res(m, n);
		rep(i, m) {
			rep(j, n) {
				res.v[i][j] = v[i][j] * sc;
			}
		}
		return res;
	}
	Matrix& operator*=(const T& sc) {
		rep(i, m) {
			rep(j, n) {
				v[i][j] *= sc;
			}
		}
		return *this;
	}

	// 行列ベクトル積 : O(m n)
	vector<T> operator*(const vector<T>& vec) const {
		vector<T> res(m);
		rep(i, m) {
			rep(j, n) {
				res[i] += v[i][j] * vec[j];
			}
		}
		return res;
	}

	// 積：O(n^3)
	Matrix operator*(const Matrix& other) const {
		Matrix res(m, other.n);
		rep(i, res.m) {
			rep(j, res.n) {
				rep(k, n) {
					res.v[i][j] += v[i][k] * other.v[k][j];
				}
			}
		}
		return res;
	}
	Matrix& operator*=(const Matrix& other) {
		*this = *this * other;
		return *this;
	}

	// 累乗：O(n^3 log d)
	Matrix pow(ll d) const {
		Matrix res(n), pow2 = *this;
		while (d > 0) {
			if ((d & 1) != 0) {
				res *= pow2;
			}
			pow2 *= pow2;
			d /= 2;
		}
		return res;
	}
};

// 左からのスカラー倍 : O(m n)
template <class T>
inline Matrix<T> operator*(const T& sc, Matrix<T>& mat) {
	return mat * sc;
}

// ベクトル行列積 : O(m n)
template <class T>
inline vector<T> operator*(const vector<T>& vec, Matrix<T>& mat) {
	int m = mat.m;
	int n = mat.n;

	vector<T> res(n);
	rep(i, m) {
		rep(j, n) {
			res[j] += vec[i] * mat.v[i][j];
		}
	}
	return res;
}

//【逆行列】O(n^3)
/*
* 正方行列 mat の逆行列が存在すればそれを mat_inv に格納する．
* また存在する場合は true，存在しない場合は false を返す．
*/
template <class T>
bool inverse_matrix(Matrix<T>& mat, Matrix<T>& mat_inv) {
	int m = mat.m;

	// 元の行列 mat と単位行列を繋げた拡大行列を作る．
	Matrix<T> aug(m, 2 * m);
	rep(i, m) {
		rep(j, m) {
			aug.v[i][j] = mat.v[i][j];
			aug.v[i][m + j] = (i == j ? T(1) : T(0));
		}
	}
	int n = 2 * m;
	auto& v = aug.v;

	// 拡大行列に対して行基本変形を行い，左側を単位行列にすることを目指す．

	// 直前に見つけたピボットの位置
	int pi = -1, pj = -1;

	// 注目位置を (i, j)（i 行目かつ j 列目）とする．
	int i = 0, j = 0;

	while (i < m && j < n) {
		// 同じ列の下方の行から非 0 成分を見つける．
		int k = i;
		while (k < m && v[k][j] == 0) {
			k++;
		}

		// 見つからなかったら注目位置を右に移す．
		if (k == m) {
			j++;
			continue;
		}

		// 見つかったら i 行目とその行を入れ替える．
		pi = i;
		pj = j;
		swap(v[i], v[k]);

		// v[i][j] が 1 になるよう行全体を v[i][j] で割る
		T div = v[i][j];
		repi(t, j, n - 1) {
			v[i][t] /= div;
		}

		// v[i][j] と同じ列の成分が全て 0 になるよう i 行目を定数倍して減じる．
		rep(k, m) {
			// i 行目だけは引かない．
			if (k == i) {
				continue;
			}

			T mul = v[k][j];
			repi(t, j, n - 1) {
				v[k][t] -= v[i][t] * mul;
			}
		}

		// 注目位置を右下に移す．
		i++;
		j++;
	}

	// mat が単位行列になっていれば，最後に発見したピボットの位置は (n-1, n-1)．
	// そうなっていなければ mat は正則ではないので false を返す．
	if (pi != m - 1 || pj != m - 1) {
		return false;
	}

	// 拡大行列の右半分が mat の逆行列なのでコピーする．
	mat_inv = Matrix<T>(m, m);
	rep(i, m) {
		rep(j, m) {
			mat_inv.v[i][j] = aug.v[i][m + j];
		}
	}

	return true;
}

//【離散対数問題／baby-step giant-step】O(√mod)
/*
* a^x = b の解 x >= 0 を 1 つ返す．（なければ -1）
*
*（平方分割）
*/
int log(const mint& a, mint b) {
	// 参考：https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/baby-step-giant-step.html

	//【方法】
	// m = ceil(√mod)，r = a^(-m) とおく．
	// 
	// まず 0 <= x < m の範囲の x について a^x を計算した集合 S を得る．
	// S の中に b に一致するものがあればそれでよい．
	// なかった場合は x >= m であることが確定する．
	// 
	// 次に解くべき方程式
	//		a^x = b
	// の両辺に r を掛けて
	//		a^(x-m) = b r
	// とする．
	// もし S の中に b r に一致するものがあれば，そこから x-m が分かり，
	// その結果に m を加えたものが求める x の値である．
	// なかった場合は x >= 2 m であることが確定する．
	//
	// a^(mod - 1) = 1 なので，同様のステップは高々 m 回で終了する．
	// 各回の S へのアクセスが O(1) で行えるなら，全体計算量は O(m) である．

	int m = (int)ceil(sqrt(mint::mod()));

	// a = 0 の場合の例外処理
	if (a == 0) {
		if (b == 0) {
			return 1;
		}
		else {
			return -1;
		}
	}

	// loga[a^i] = i を計算しておく．
	unordered_map<int, int> loga = { {1, 0} };
	mint p = 1;
	repi(i, 1, m - 1) {
		p *= a;
		loga[p.val()] = i;
	}

	// r = a^(-m)
	mint r = a.pow(m).inv();

	// 方程式の両辺に r = a^(-m) を掛けながら解を探していく．
	rep(i, m) {
		if (loga.count(b.val())) {
			return m * i + loga[b.val()];
		}
		b *= r;
	}

	// 見つからなかったら -1 を返す．
	return -1;
}

int main() {
	cout << fixed << setprecision(15); // 小数点以下の桁数の指定

	mint a, b, p, q;
	cin >> a >> b >> p >> q;

	if (b == 0) {
		cout << log(a, p) << endl;
		return 0;
	}

	int m = (int)ceil(sqrt(mint::mod()));

	Matrix<mint> mat({ {a, -b}, {1, 0} });
	vm v({ a, 2 });
	map<pii, int> loga;
	loga[{ v[0].val(), v[1].val() }] = 0;
	repi(i, 1, m - 1) {
		v = mat * v;
		loga[{ v[0].val(), v[1].val() }] = i;
	}

	Matrix<mint> mat_inv;
	inverse_matrix(mat, mat_inv);
	auto r = mat_inv.pow(m);

	vm u({ p, q });
	rep(i, m) {
		if (loga.count({ u[0].val(), u[1].val() })) {
			cout << m * i + loga[{ u[0].val(), u[1].val() }] + 1 << endl;
			return 0;
		}
		u = r * u;
	}

}

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