#794334 (C++17) No.981 一般冪乗根

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問題	No.981 一般冪乗根
ユーザー	tokusakurai
提出日時	2022-09-01 17:52:32
言語	C++17 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果	AC
実行時間	10 ms / 6,000 ms
コード長	11,339 bytes
コンパイル時間	2,810 ms
コンパイル使用メモリ	218,748 KB
実行使用メモリ	5,376 KB
最終ジャッジ日時	2024-04-26 18:47:23
合計ジャッジ時間	40,645 ms
ジャッジサーバーID （参考情報）	judge4 / judge3

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入力	結果	実行時間実行使用メモリ
testcase_00	AC	3 ms 5,248 KB
testcase_01	AC	4 ms 5,376 KB
testcase_02	AC	4 ms 5,376 KB
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testcase_19	AC	3 ms 5,376 KB
testcase_20	AC	3 ms 5,376 KB
testcase_21	AC	3 ms 5,376 KB
testcase_22	AC	4 ms 5,376 KB
testcase_23	AC	3 ms 5,376 KB
testcase_24	AC	3 ms 5,376 KB
testcase_25	AC	5 ms 5,376 KB
testcase_26	AC	4 ms 5,376 KB
testcase_27	AC	2 ms 5,376 KB
testcase_28	AC	10 ms 5,376 KB
evil_60bit1.txt	WA	-
evil_60bit2.txt	WA	-
evil_60bit3.txt	WA	-
evil_hack	AC	2 ms 5,376 KB
evil_hard_random	WA	-
evil_hard_safeprime.txt	WA	-
evil_hard_tonelli0	WA	-
evil_hard_tonelli1	WA	-
evil_hard_tonelli2	WA	-
evil_hard_tonelli3	WA	-
evil_sefeprime1.txt	WA	-
evil_sefeprime2.txt	WA	-
evil_sefeprime3.txt	WA	-
evil_tonelli1.txt	WA	-
evil_tonelli2.txt	WA	-

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ソースコード

raw source code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct io_setup {
    io_setup() {
        ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(NULL);
        cout << fixed << setprecision(15);
    }
} io_setup;

struct Random_Number_Generator {
    mt19937_64 mt;

    Random_Number_Generator() : mt(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count()) {}

    // [l,r) での一様乱数
    int64_t operator()(int64_t l, int64_t r) {
        uniform_int_distribution<int64_t> dist(l, r - 1);
        return dist(mt);
    }

    // [0,r) での一様乱数
    int64_t operator()(int64_t r) { return (*this)(0, r); }
} rng;

long long modpow(long long x, long long n, const int &m) {
    x %= m;
    long long ret = 1;
    for (; n > 0; n >>= 1, x *= x, x %= m) {
        if (n & 1) ret *= x, ret %= m;
    }
    return ret;
}

template <typename T>
T modinv(T a, const T &m) {
    T b = m, u = 1, v = 0;
    while (b > 0) {
        T t = a / b;
        swap(a -= t * b, b);
        swap(u -= t * v, v);
    }
    return u >= 0 ? u % m : (m - (-u) % m) % m;
}

// オイラーの φ 関数 (x と m が互いに素ならば、x^φ(m) ≡ 1 (mod m))
template <typename T>
T Euler_totient(T m) {
    T ret = m;
    for (T i = 2; i * i <= m; i++) {
        if (m % i == 0) ret /= i, ret *= i - 1;
        while (m % i == 0) m /= i;
    }
    if (m > 1) ret /= m, ret *= m - 1;
    return ret;
}

// x^k ≡ y (mod m) となる最小の非負整数 k (存在しなければ -1)
int modlog(int x, int y, int m, int max_ans = -1) {
    if (max_ans == -1) max_ans = m;
    long long g = 1;
    for (int i = m; i > 0; i >>= 1) g *= x, g %= m;
    g = gcd(g, m);
    int c = 0;
    long long t = 1;
    for (; t % g != 0; c++) {
        if (t == y) return c;
        t *= x, t %= m;
    }
    if (y % g != 0) return -1;
    t /= g, y /= g, m /= g;
    int n = 0;
    long long gs = 1;
    for (; n * n < max_ans; n++) gs *= x, gs %= m;
    unordered_map<int, int> mp;
    long long e = y;
    for (int i = 0; i < n; mp[e] = ++i) e *= x, e %= m;
    e = t;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        e *= gs, e %= m;
        if (mp.count(e)) return c + n * (i + 1) - mp[e];
    }
    return -1;
}

// x^k ≡ 1 (mod m) となる最小の正整数 k (x と m は互いに素)
template <typename T>
T order(T x, const T &m) {
    T n = Euler_totient(m);
    vector<T> ds;
    for (T i = 1; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) ds.push_back(i), ds.push_back(n / i);
    }
    sort(begin(ds), end(ds));
    for (auto &e : ds) {
        if (modpow(x, e, m) == 1) return e;
    }
    return -1;
}

// 素数 p の原始根
template <typename T>
T primitive_root(const T &p) {
    vector<T> ds;
    for (T i = 1; i * i <= p - 1; i++) {
        if ((p - 1) % i == 0) ds.push_back(i), ds.push_back((p - 1) / i);
    }
    sort(begin(ds), end(ds));
    while (true) {
        T r = rng(1, p);
        for (auto &e : ds) {
            if (e == p - 1) return r;
            if (modpow(r, e, p) == 1) break;
        }
    }
}

struct Montgomery_Mod_Int_64 {
    using u64 = uint64_t;
    using u128 = __uint128_t;

    static u64 mod;
    static u64 r;  // m*r ≡ 1 (mod 2^64)
    static u64 n2; // 2^128 (mod mod)

    u64 x;

    Montgomery_Mod_Int_64() : x(0) {}

    Montgomery_Mod_Int_64(long long b) : x(reduce((u128(b) + mod) * n2)) {}

    static u64 get_r() { // mod 2^64 での逆元
        u64 ret = mod;
        for (int i = 0; i < 5; i++) ret *= 2 - mod * ret;
        return ret;
    }

    static u64 get_mod() { return mod; }

    static void set_mod(u64 m) {
        assert(m < (1LL << 62));
        assert((m & 1) == 1);
        mod = m;
        n2 = -u128(m) % m;
        r = get_r();
        assert(r * mod == 1);
    }

    static u64 reduce(const u128 &b) { return (b + u128(u64(b) * u64(-r)) * mod) >> 64; }

    Montgomery_Mod_Int_64 &operator+=(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) {
        if ((x += p.x) >= 2 * mod) x -= 2 * mod;
        return *this;
    }

    Montgomery_Mod_Int_64 &operator-=(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) {
        if ((x += 2 * mod - p.x) >= 2 * mod) x -= 2 * mod;
        return *this;
    }

    Montgomery_Mod_Int_64 &operator*=(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) {
        x = reduce(u128(x) * p.x);
        return *this;
    }

    Montgomery_Mod_Int_64 &operator/=(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) {
        *this *= p.inverse();
        return *this;
    }

    Montgomery_Mod_Int_64 &operator++() { return *this += Montgomery_Mod_Int_64(1); }

    Montgomery_Mod_Int_64 operator++(int) {
        Montgomery_Mod_Int_64 tmp = *this;
        ++*this;
        return tmp;
    }

    Montgomery_Mod_Int_64 &operator--() { return *this -= Montgomery_Mod_Int_64(1); }

    Montgomery_Mod_Int_64 operator--(int) {
        Montgomery_Mod_Int_64 tmp = *this;
        --*this;
        return tmp;
    }

    Montgomery_Mod_Int_64 operator+(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) const { return Montgomery_Mod_Int_64(*this) += p; };

    Montgomery_Mod_Int_64 operator-(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) const { return Montgomery_Mod_Int_64(*this) -= p; };

    Montgomery_Mod_Int_64 operator*(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) const { return Montgomery_Mod_Int_64(*this) *= p; };

    Montgomery_Mod_Int_64 operator/(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) const { return Montgomery_Mod_Int_64(*this) /= p; };

    bool operator==(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) const { return (x >= mod ? x - mod : x) == (p.x >= mod ? p.x - mod : p.x); };

    bool operator!=(const Montgomery_Mod_Int_64 &p) const { return (x >= mod ? x - mod : x) != (p.x >= mod ? p.x - mod : p.x); };

    Montgomery_Mod_Int_64 inverse() const {
        assert(*this != Montgomery_Mod_Int_64(0));
        return pow(mod - 2);
    }

    Montgomery_Mod_Int_64 pow(long long k) const {
        Montgomery_Mod_Int_64 now = *this, ret = 1;
        for (; k > 0; k >>= 1, now *= now) {
            if (k & 1) ret *= now;
        }
        return ret;
    }

    u64 get() const {
        u64 ret = reduce(x);
        return ret >= mod ? ret - mod : ret;
    }

    friend ostream &operator<<(ostream &os, const Montgomery_Mod_Int_64 &p) { return os << p.get(); }

    friend istream &operator>>(istream &is, Montgomery_Mod_Int_64 &p) {
        long long a;
        is >> a;
        p = Montgomery_Mod_Int_64(a);
        return is;
    }
};

typename Montgomery_Mod_Int_64::u64 Montgomery_Mod_Int_64::mod, Montgomery_Mod_Int_64::r, Montgomery_Mod_Int_64::n2;

bool Miller_Rabin(unsigned long long n, vector<unsigned long long> as) {
    using Mint = Montgomery_Mod_Int_64;
    if (Mint::get_mod() != n) Mint::set_mod(n);
    unsigned long long d = n - 1;
    while (!(d & 1)) d >>= 1;
    Mint e = 1, rev = n - 1;
    for (unsigned long long a : as) {
        if (n <= a) break;
        unsigned long long t = d;
        Mint y = Mint(a).pow(t);
        while (t != n - 1 && y != e && y != rev) {
            y *= y;
            t <<= 1;
        }
        if (y != rev && (!(t & 1))) return false;
    }
    return true;
}

bool is_prime(unsigned long long n) {
    if (!(n & 1)) return n == 2;
    if (n <= 1) return false;
    if (n < (1LL << 30)) return Miller_Rabin(n, {2, 7, 61});
    return Miller_Rabin(n, {2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022});
}

unsigned long long Pollard_rho(unsigned long long n) {
    using Mint = Montgomery_Mod_Int_64;
    if (!(n & 1)) return 2;
    if (is_prime(n)) return n;
    if (Mint::get_mod() != n) Mint::set_mod(n);
    Mint R, one = 1;
    auto f = [&](Mint x) { return x * x + R; };
    auto rnd = [&]() { return rng(n - 2) + 2; };
    while (true) {
        Mint x, y, ys, q = one;
        R = rnd(), y = rnd();
        unsigned long long g = 1;
        int m = 128;
        for (int r = 1; g == 1; r <<= 1) {
            x = y;
            for (int i = 0; i < r; i++) y = f(y);
            for (int k = 0; g == 1 && k < r; k += m) {
                ys = y;
                for (int i = 0; i < m && i < r - k; i++) q *= x - (y = f(y));
                g = gcd(q.get(), n);
            }
        }
        if (g == n) {
            do { g = gcd((x - (ys = f(ys))).get(), n); } while (g == 1);
        }
        if (g != n) return g;
    }
    return 0;
}

vector<unsigned long long> factorize(unsigned long long n) {
    if (n <= 1) return {};
    unsigned long long p = Pollard_rho(n);
    if (p == n) return {n};
    auto l = factorize(p);
    auto r = factorize(n / p);
    copy(begin(r), end(r), back_inserter(l));
    return l;
}

vector<pair<unsigned long long, int>> prime_factor(unsigned long long n) {
    auto ps = factorize(n);
    sort(begin(ps), end(ps));
    vector<pair<unsigned long long, int>> ret;
    for (auto &e : ps) {
        if (!ret.empty() && ret.back().first == e) {
            ret.back().second++;
        } else {
            ret.emplace_back(e, 1);
        }
    }
    return ret;
}

// 素数 p について、x^2 ≡ a (mod p) となる x を 1 つ求める (存在しなければ -1)
int sqrt_mod(int a, const int &p) {
    if (a == 0) return 0;
    if (p == 2) return a;
    if (modpow(a, (p - 1) / 2, p) != 1) return -1;
    int s = p - 1, t = 0;
    while (s % 2 == 0) s /= 2, t++;
    long long x = modpow(a, (s + 1) / 2, p);
    long long u = 1;
    while (modpow(u, (p - 1) / 2, p) == 1) u = rng(1, p);
    u = modpow(u, s, p);
    long long y = (1LL * x * x % p) * modinv(a, p) % p;
    while (y != 1) {
        int k = 0;
        long long z = y;
        while (z != 1) k++, z *= z, z %= p;
        for (int i = 0; i < t - k - 1; i++) u *= u, u %= p;
        x *= u, x %= p;
        u *= u, u %= p;
        y *= u, y %= p;
        t = k;
    }
    return x;
}

// x^(m^e) ≡ a (mod p) (m が p-1 の素因数であり、解が存在する場合)
int prime_power_root_mod(int m, int e, int a, const int &p) {
    int s = p - 1, t = 0;
    while (s % m == 0) s /= m, t++;
    vector<int> pw(t + 1, 1);
    for (int i = 0; i < t; i++) pw[i + 1] = pw[i] * m;
    int q = pw[e];
    long long x = modpow(a, (1 + 1LL * s * (q - modinv(s, q))) / q, p);
    long long u = 1;
    while (modpow(u, (p - 1) / m, p) == 1) u = rng(1, p);
    u = modpow(u, s, p);
    long long y = modpow(x, q, p) * modinv(a, p) % p;
    while (y != 1) {
        int k = 0;
        long long z = y;
        while (z != 1) k++, z = modpow(z, m, p);
        long long w = modpow(u, pw[t - k - e], p);
        long long v = modpow(w, pw[e + k - 1], p);
        long long inv = modinv((int)modpow(y, pw[k - 1], p), p);
        // v^n ≡ inv (mod p) となる最小の n (m 未満であることに注意) を BSGS で求める
        int n = modlog(v, inv, p, m);
        w = modpow(w, n, p);
        x *= w, x %= p;
        y *= modpow(w, q, p), y %= p;
    }
    return x;
}

// 素数 p について、x^k ≡ a (mod p) となる x を 1 つ求める (存在しなければ -1)
int kth_root_mod(int k, int a, const int &p) {
    if (a == 0) return k == 0 ? -1 : 0;
    if (p == 2) return a;
    int g = gcd(k, p - 1);
    if (modpow(a, (p - 1) / g, p) != 1) return -1;
    auto ps = prime_factor(g);
    int x = modpow(a, modinv(k / g, (p - 1) / g), p);
    for (auto [m, e] : ps) x = prime_power_root_mod(m, e, x, p);
    return x;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;

    while (T--) {
        int K, A, P;
        cin >> P >> K >> A;
        cout << kth_root_mod(K, A, P) << '\n';
    }
}

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