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問題 No.2074 Product is Square ?
ユーザー ecotteaecottea
提出日時 2022-09-16 22:57:57
言語 C++14
(gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果
AC  
実行時間 5 ms / 2,000 ms
コード長 18,603 bytes
コンパイル時間 4,526 ms
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最終ジャッジ日時 2024-06-01 13:54:33
合計ジャッジ時間 5,508 ms
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（参考情報） 		judge4 / judge3
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testcase_30 AC 2 ms
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testcase_33 AC 5 ms
6,940 KB
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ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-12;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif

#endif // 折りたたみ用


//--------------AtCoder 専用--------------
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

//using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
using mint = modint; // mint::set_mod(m);

istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
//----------------------------------------


//【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
/*
* 有限体 F_p 上ので様々な計算を行う．
*
* 制約 : p は素数，コンパイラは gcc
*/
#ifdef _MSC_VER
#define __int128 ll // デバッグ用
#endif
struct mll {
	__int128 v;
	static __int128 MOD;

	// コンストラクタ
	mll() : v(0) {};
	mll(const mll& a) = default;
	mll(const int& a) : v(safe_mod(a)) {};
	mll(const ll& a) : v(safe_mod(a)) {};

	// 代入
	mll& operator=(const mll& a) { v = a.v; return *this; }
	mll& operator=(const int& a) { v = safe_mod(a); return *this; }
	mll& operator=(const ll& a) { v = safe_mod(a); return *this; }

	// 入出力
	friend istream& operator>> (istream& is, mll& x) { ll tmp; is >> tmp; x.v = safe_mod(tmp); return is; }
	friend ostream& operator<< (ostream& os, const mll& x) { os << (ll)x.v; return os; }

	// 非負 mod
	template <class T> static __int128 safe_mod(T a) { return ((a % MOD) + MOD) % MOD; }

	// 比較
	bool operator==(const mll& b) const { return v == b.v; }
	bool operator==(const int& b) const { return v == safe_mod(b); }
	bool operator==(const ll& b) const { return v == safe_mod(b); }
	friend bool operator==(const int& a, const mll& b) { return b == a; }
	friend bool operator==(const ll& a, const mll& b) { return b == a; }

	// 演算
	mll& operator+=(const mll& b) { v = safe_mod(v + b.v); return *this; }
	mll& operator-=(const mll& b) { v = safe_mod(v - b.v); return *this; }
	mll& operator*=(const mll& b) { v = safe_mod(v * b.v); return *this; }
	mll& operator/=(const mll& b) { *this *= b.inv(); return *this; }
	mll operator+(const mll& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const mll& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const mll& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const mll& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
	mll operator-() const { mll a = *this; return a *= -1; }

	// int との演算
	mll& operator+=(const int& b) { v = safe_mod(v + b); return *this; }
	mll& operator-=(const int& b) { v = safe_mod(v - b); return *this; }
	mll& operator*=(const int& b) { v = safe_mod(v * b); return *this; }
	mll& operator/=(const int& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; }
	mll operator+(const int& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const int& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const int& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const int& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
	friend mll operator+(const int& a, const mll& b) { return b + a; }
	friend mll operator-(const int& a, const mll& b) { return -(b - a); }
	friend mll operator*(const int& a, const mll& b) { return b * a; }
	friend mll operator/(const int& a, const mll& b) { return mll(a) * b.inv(); }

	// ll との演算
	mll& operator+=(const ll& b) { v = safe_mod(v + b); return *this; }
	mll& operator-=(const ll& b) { v = safe_mod(v - b); return *this; }
	mll& operator*=(const ll& b) { v = safe_mod(v * b); return *this; }
	mll& operator/=(const ll& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; }
	mll operator+(const ll& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const ll& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const ll& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const ll& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
	friend mll operator+(const ll& a, const mll& b) { return b + a; }
	friend mll operator-(const ll& a, const mll& b) { return -(b - a); }
	friend mll operator*(const ll& a, const mll& b) { return b * a; }
	friend mll operator/(const ll& a, const mll& b) { return mll(a) * b.inv(); }

	// 累乗
	mll pow(ll d) const {
		mll res(1), pow2 = *this;
		while (d > 0) {
			if (d & 1) res *= pow2;
			pow2 *= pow2;
			d /= 2;
		}
		return res;
	}

	// 逆元
	mll inv() const { return pow(MOD - 2); }

	// 法の設定，確認
	static void set_mod(ll MOD_) { Assert(MOD_ > 0); MOD = MOD_; }
	static ll mod() { return (ll)MOD; }

	// 値の確認
	ll val() const { return (ll)safe_mod(v); }
};
__int128 mll::MOD;


//【素数判定】O((log n)^3)
/*
* n が素数かを返す．
*
* 利用：【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
*/
bool miller_rabin(ll n) {
	// 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/prime/fast-factorize.hpp.html
	// verify : https://algo-method.com/tasks/513

	//【方法】
	// p を奇素数とすると，任意の a=[1..p) についてフェルマーの小定理より
	//		a^(p-1) = 1 (mod p)
	// となる．これの平方根を考えていくと，
	//		p - 1 = 2^s d　（d : 奇数）
	// と表せば，
	//		a^d = 1 (mod p) or ∃r=[0..s), a^(2^r d) = -1 (mod p)
	// と書き直せる．
	// 
	// この対偶を用いて判定することをランダムに選んだ a で繰り返す．
	// n の範囲を限定するなら擬素数を生じない a を固定的に選べる．

	const vl as = { 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022 };

	if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 13 || n == 19 || n == 73 || n == 193
		|| n == 407521 || n == 299210837) return true;
	if (n == 1 || n % 2 == 0) return false;

	mll::set_mod(n);
	int s = 0; ll d = n - 1;
	while (d % 2 == 0) {
		s++;
		d /= 2;
	}

	repe(a, as) {
		mll powa = mll(a).pow(d);
		if (powa == 1 || powa == -1) goto LOOP_END;
		rep(r, s - 1) {
			powa *= powa;
			if (powa == 1) return false;
			if (powa == -1) goto LOOP_END;
		}
		return false;

	LOOP_END:;
	}

	return true;
}


//【約数検出】O(n^(1/4))
/*
* n の真の約数を何か 1 つ返す．
*
* 制約 : n は合成数
*
* 利用：【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
*/
ll pollard_rho(ll n) {
	// 参考 : https://qiita.com/Kiri8128/items/eca965fe86ea5f4cbb98
	// verify : https://algo-method.com/tasks/553

	//【方法】
	// 適当な定数 c をとり関数 f : Z/nZ → Z/nZ を
	//		f(x) = x^2 + c
	// と定める．
	//
	// 適当な初期値 x[0] = y[0] (= 2) から始め，Z/nZ 上の数列を漸化式
	//		x[i + 1] = f(x[i]), y[i + 1] = f(f(y[i]))
	// で定める．フロイドの循環検出法より，もし
	//		gcd(x[i] - y[i], n) = g ∈ [2..n-1]
	// であれば，これは f が Z/gZ（g は n の真の約数）で巡回したことを意味する．
	//
	// 実際には，
	//		x は r = (2 冪) 個ずつ進める（定数 1/2 倍）
	//		gcd の計算を m = n^(1/8) 程度個まとめて行う（gcd の log を落とす）
	// ことにより高速化を図る．

	if (!(n & 1)) return 2;

	int m = 1 << (msb(n) / 8);
	mll::set_mod(n); // n は合成数だが割り算は使わないので問題ない

	const int c_max = 99; // c を最大どこまで試すか
	repi(c, 1, c_max) {
		auto f = [&](mll x) { return x * x + c; };

		mll x, y = 2, y_bak;
		ll g = 1;
		int r = 1;

		// g = 1 である間は巡回未検出
		while (g == 1) {
			// x, y を r = 2^i だけ一気に進める．
			x = y;
			rep(hoge, r) y = f(y);

			// 次の r = 2^i 個をまとめて見る．
			for (int k = 0; k < r; k += m) {
				// 一気に掛けすぎて g = n となってしまった場合の復元用
				y_bak = y;

				// m 個ごとにまとめて見る．
				mll mul = 1;
				rep(i, min(m, r - k)) {
					y = f(y);

					// 複数個掛けておき，後でまとめて gcd を計算する．
					//（フロイドの循環検出法とは違い x を固定しているが，
					// 巡回は検出できるので問題ない．）
					mul *= x - y;
				}
				g = gcd(mul.val(), n);

				// g != 1 なら巡回を検出できたので次の処理へ
				if (g != 1) goto LOOP_END;
			}

			r *= 2;
		}

	LOOP_END:;
		// 一気に掛けすぎて g = n となってしまった（であろう）場合
		if (g == n) {
			// 復元用に残しておいた x, y_bak から再スタート
			g = 1;
			while (g == 1) {
				y_bak = f(y_bak);
				g = gcd((x - y_bak).val(), n);
			}
		}

		// g < n なら g が n の真の約数なのでそれを返す．
		if (g < n) return g;

		// g = n ならたまたま真の約数が全て同時検出されてしまったので，
		// 関数 f における定数項 c の値を別のものに取り替えて再挑戦．
	}

	// 複数個の c を試してなお失敗したなら諦める．
	return n;
}


//【素因数分解】O(n^(1/4))
/*
* n を素因数分解した結果を pps に格納する．
* pps[p] = d : n に素因数 p が d 個含まれていることを表す．
*
* 利用：【素数判定】,【約数検出】
*/
void factor_integer(ll n, map<ll, int>& pps) {
	// verify : https://algo-method.com/tasks/553

	pps.clear();
	if (n == 1) return;

	// 検出した約数を記録しておくキュー
	queue<ll> divs;
	divs.push(n);

	while (!divs.empty()) {
		ll d = divs.front();
		divs.pop();

		// 約数が素数なら素因数発見
		if (miller_rabin(d)) {
			pps[d]++;
		}
		// 約数が合成数なら新たな約数を 2 つ発見する
		else {
			ll d1 = pollard_rho(d);
			ll d2 = d / d1;
			divs.push(d1);
			divs.push(d2);
		}
	}
}


//【Zobrist Hash（集合）】
/*
* 集合 S ⊂ X のハッシュ値を計算する．
*
* Zobrist_hash_set<X>() : O(1)
*	S を空集合として初期化する．
*
* flip(X x) : O(1)
*	S に対し要素 x の有無を反転する．
*
* ll get() : O(1)
*	現時点での集合 S のハッシュ値を返す．
*/
template <class X> struct Zobrist_hash_set {
	// verify : https://www.codechef.com/problems/COOK82D

	// ハッシュ値
	ll v;

	// 各 x ∈ X に対するハッシュの割り当て
	unordered_map<X, ll> x_to_hash;

	// 乱数生成器
	mt19937_64 mt;
	uniform_int_distribution<ll> rnd;

	// コンストラクタ（空集合で初期化）
	Zobrist_hash_set() : v(0) {
		mt.seed((int)time(NULL));
		rnd = uniform_int_distribution<ll>(-INFL, INFL);
	}

	// S に対し要素 x の有無を反転する．
	void flip(const X& x) {
		// x が初めて出現した場合はハッシュ値を割り当てる．
		if (!x_to_hash.count(x)) {
			x_to_hash[x] = rnd(mt);
		}

		// ハッシュ値の更新
		v ^= x_to_hash[x];
	}

	// 現時点での関数 f のハッシュ値を返す．
	ll get() { return v; }

#ifdef _MSC_VER
	friend ostream& operator<<(ostream& os, Zobrist_hash_set z) {
		os << "v: " << z.v << endl;
		return os;
	}
#endif
};


void TLE() {
	int t;
	cin >> t;

	rep(hoge, t) {
		int n;
		cin >> n;

		vl a(n);
		cin >> a;

		Zobrist_hash_set<ll> zh;

		rep(i, n) {
			map<ll, int> pps;
			factor_integer(a[i], pps);

			repe(pp, pps) {
				if (pp.second % 2 == 0) continue;

				zh.flip(pp.first);
			}
		}

		Yes(zh.get() == 0);
	}
}


vi ps = { 998244353, 998244389, 998244391, 998244397, 998244407, 998244431,
998244433, 998244473, 998244487, 998244493, 998244521, 998244523,
998244529, 998244601, 998244617, 998244619, 998244631, 998244649,
998244673, 998244677, 998244679, 998244707, 998244713, 998244749,
998244761, 998244787, 998244799, 998244803, 998244839, 998244853,
998244889, 998244893, 998244899, 998244911, 998244943, 998244967,
998244991, 998245037, 998245063, 998245091, 998245097, 998245099,
998245109, 998245111, 998245141, 998245147, 998245153, 998245159,
998245169, 998245177, 998245189, 998245207, 998245211, 998245223,
998245247, 998245331, 998245349, 998245373, 998245403, 998245463,
998245481, 998245483, 998245487, 998245489, 998245531, 998245543,
998245553, 998245571, 998245613, 998245631, 998245639, 998245687,
998245697, 998245709, 998245711, 998245733, 998245739, 998245757,
998245777, 998245799, 998245837, 998245867, 998245877, 998245909,
998245943, 998245949, 998245981, 998246021, 998246047, 998246071,
998246077, 998246101, 998246129, 998246143, 998246177, 998246189,
998246191, 998246237, 998246251, 998246257, 998246261 };


//【平方剰余】O(√p)
/*
* x^2 = a mod p の解 x の一方を返す．（なければ -1）
*
* 制約 : p = mint::mod() は素数
*
*（トネリ－シャンクスのアルゴリズム）
*/
int sqrt(const mint& a) {
	// 参考：https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/tonelli-shanks.html
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod

	//【方法】
	// p = mod, p - 1 = 2^d q（q : 奇数）と表しておく．
	// 
	// 適当な平方非剰余 z を見つける．
	// オイラーの基準より，
	//		z が平方非剰余 ⇔ z^((p-1)/2) = -1
	// である．
	//
	// t = a^q と初期化する．a は平方剰余なので，オイラーの基準より
	//		t^(2^(d-1)) = a^(2^(d-1) q) = a^((p-1)/2) = 1
	// となる．
	//
	// i = [d-2..0] について，t^(2^i) = -1 であれば
	//		t *= z^((p-1) / 2^(i+1))
	// と t を更新する．
	//		(z^((p-1) / 2^(i+1)))^(2^i) = z^(2^i (p-1) / 2^(i+1)) = z^((p-1) / 2) = -1
	// なので，この更新により t^(2^i) = 1 となる．
	// i = 0 まで更新を終えれば，最終的に t = 1 となる．
	//
	// 求める x は
	//		x = a^(1/2) = (t a)^(1/2)
	// と表されるから，2 のべきを 1 つ小さくしながら途中計算することにより，
	// 先の計算と同時に x を得ることができる．

	// 法 p を得る．
	const int p = mint::mod();

	// p = 2 の場合の例外処理
	if (p == 2) return a.val();

	// a が平方非剰余なら -1 を返す．
	if (a.pow((p - 1) / 2) == -1) {
		return -1;
	}

	// mod - 1 = 2^d q（q : 奇数）なる d, q を得る．
	int q = p - 1, d = 0;
	while (q % 2 == 0) {
		q /= 2;
		d++;
	}

	// 適当な平方非剰余 z を見つける．
	mint z = 2;
	while (z.pow((p - 1) / 2) == 1) {
		z += 1;
	}

	// t を更新しつつ結果を得る．
	mint t = a.pow(q), res = a.pow((q + 1) / 2);
	repir(i, d - 2, 0) {
		if (t.pow(1LL << i) == -1) {
			t *= z.pow((p - 1) >> (i + 1));
			res *= z.pow((p - 1) >> (i + 2));
		}
	}

	return res.val();
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");
	
	int t;
	cin >> t;

	rep(hoge, t) {
		int n;
		cin >> n;

		vl a(n);
		cin >> a;

		bool ok = true;

		rep(i, 20) {
			mint::set_mod(ps[i]);

			mint v = 1;
			repe(x, a) v *= x;

			if (sqrt(v) == -1) {
				ok = false;
				break;
			}
		}

		Yes(ok);
	}
}
0