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問題 No.2074 Product is Square ?
ユーザー ecottea
提出日時 2022-09-16 22:57:57
言語 C++14
(gcc 13.3.0 + boost 1.87.0)
結果
AC  
実行時間 5 ms / 2,000 ms
コード長 18,603 bytes
コンパイル時間 4,614 ms
コンパイル使用メモリ 251,432 KB
実行使用メモリ 5,248 KB
最終ジャッジ日時 2024-12-21 22:21:01
合計ジャッジ時間 5,972 ms
ジャッジサーバーID
（参考情報） 		judge4 / judge5
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ファイルパターン 結果
sample AC * 1
other AC * 33
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ソースコード

diff #
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#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用
// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>; using pll = pair<ll, ll>;   using pil = pair<int, ll>;  using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;     using vvi = vector<vi>;     using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>;      using vvl = vector<vl>;     using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>;    using vvb = vector<vb>;     using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;    using vvc = vector<vc>;     using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;  using vvd = vector<vd>;     using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;
// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-12;
// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;
// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true 
    を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true 
    を返す）
// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }
// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif
#endif // 折りたたみ用
//--------------AtCoder 専用--------------
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;
//using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
using mint = modint; // mint::set_mod(m);
istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
//----------------------------------------
//【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
/*
* 有限体 F_p 上ので様々な計算を行う．
*
* 制約 : p は素数，コンパイラは gcc
*/
#ifdef _MSC_VER
#define __int128 ll // デバッグ用
#endif
struct mll {
    __int128 v;
    static __int128 MOD;
    // コンストラクタ
    mll() : v(0) {};
    mll(const mll& a) = default;
    mll(const int& a) : v(safe_mod(a)) {};
    mll(const ll& a) : v(safe_mod(a)) {};
    // 代入
    mll& operator=(const mll& a) { v = a.v; return *this; }
    mll& operator=(const int& a) { v = safe_mod(a); return *this; }
    mll& operator=(const ll& a) { v = safe_mod(a); return *this; }
    // 入出力
    friend istream& operator>> (istream& is, mll& x) { ll tmp; is >> tmp; x.v = safe_mod(tmp); return is; }
    friend ostream& operator<< (ostream& os, const mll& x) { os << (ll)x.v; return os; }
    // 非負 mod
    template <class T> static __int128 safe_mod(T a) { return ((a % MOD) + MOD) % MOD; }
    // 比較
    bool operator==(const mll& b) const { return v == b.v; }
    bool operator==(const int& b) const { return v == safe_mod(b); }
    bool operator==(const ll& b) const { return v == safe_mod(b); }
    friend bool operator==(const int& a, const mll& b) { return b == a; }
    friend bool operator==(const ll& a, const mll& b) { return b == a; }
    // 演算
    mll& operator+=(const mll& b) { v = safe_mod(v + b.v); return *this; }
    mll& operator-=(const mll& b) { v = safe_mod(v - b.v); return *this; }
    mll& operator*=(const mll& b) { v = safe_mod(v * b.v); return *this; }
    mll& operator/=(const mll& b) { *this *= b.inv(); return *this; }
    mll operator+(const mll& b) const { mll a = *this; return a += b; }
    mll operator-(const mll& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
    mll operator*(const mll& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
    mll operator/(const mll& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
    mll operator-() const { mll a = *this; return a *= -1; }
    // int との演算
    mll& operator+=(const int& b) { v = safe_mod(v + b); return *this; }
    mll& operator-=(const int& b) { v = safe_mod(v - b); return *this; }
    mll& operator*=(const int& b) { v = safe_mod(v * b); return *this; }
    mll& operator/=(const int& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; }
    mll operator+(const int& b) const { mll a = *this; return a += b; }
    mll operator-(const int& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
    mll operator*(const int& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
    mll operator/(const int& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
    friend mll operator+(const int& a, const mll& b) { return b + a; }
    friend mll operator-(const int& a, const mll& b) { return -(b - a); }
    friend mll operator*(const int& a, const mll& b) { return b * a; }
    friend mll operator/(const int& a, const mll& b) { return mll(a) * b.inv(); }
    // ll との演算
    mll& operator+=(const ll& b) { v = safe_mod(v + b); return *this; }
    mll& operator-=(const ll& b) { v = safe_mod(v - b); return *this; }
    mll& operator*=(const ll& b) { v = safe_mod(v * b); return *this; }
    mll& operator/=(const ll& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; }
    mll operator+(const ll& b) const { mll a = *this; return a += b; }
    mll operator-(const ll& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
    mll operator*(const ll& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
    mll operator/(const ll& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
    friend mll operator+(const ll& a, const mll& b) { return b + a; }
    friend mll operator-(const ll& a, const mll& b) { return -(b - a); }
    friend mll operator*(const ll& a, const mll& b) { return b * a; }
    friend mll operator/(const ll& a, const mll& b) { return mll(a) * b.inv(); }
    // 累乗
    mll pow(ll d) const {
        mll res(1), pow2 = *this;
        while (d > 0) {
            if (d & 1) res *= pow2;
            pow2 *= pow2;
            d /= 2;
        }
        return res;
    }
    // 逆元
    mll inv() const { return pow(MOD - 2); }
    // 法の設定，確認
    static void set_mod(ll MOD_) { Assert(MOD_ > 0); MOD = MOD_; }
    static ll mod() { return (ll)MOD; }
    // 値の確認
    ll val() const { return (ll)safe_mod(v); }
};
__int128 mll::MOD;
//【素数判定】O((log n)^3)
/*
* n が素数かを返す．
*
* 利用：【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
*/
bool miller_rabin(ll n) {
    // 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/prime/fast-factorize.hpp.html
    // verify : https://algo-method.com/tasks/513
    //【方法】
    // p を奇素数とすると，任意の a=[1..p) についてフェルマーの小定理より
    //      a^(p-1) = 1 (mod p)
    // となる．これの平方根を考えていくと，
    //      p - 1 = 2^s d　（d : 奇数）
    // と表せば，
    //      a^d = 1 (mod p) or ∃r=[0..s), a^(2^r d) = -1 (mod p)
    // と書き直せる．
    // 
    // この対偶を用いて判定することをランダムに選んだ a で繰り返す．
    // n の範囲を限定するなら擬素数を生じない a を固定的に選べる．
    const vl as = { 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022 };
    if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 13 || n == 19 || n == 73 || n == 193
        || n == 407521 || n == 299210837) return true;
    if (n == 1 || n % 2 == 0) return false;
    mll::set_mod(n);
    int s = 0; ll d = n - 1;
    while (d % 2 == 0) {
        s++;
        d /= 2;
    }
    repe(a, as) {
        mll powa = mll(a).pow(d);
        if (powa == 1 || powa == -1) goto LOOP_END;
        rep(r, s - 1) {
            powa *= powa;
            if (powa == 1) return false;
            if (powa == -1) goto LOOP_END;
        }
        return false;
    LOOP_END:;
    }
    return true;
}
//【約数検出】O(n^(1/4))
/*
* n の真の約数を何か 1 つ返す．
*
* 制約 : n は合成数
*
* 利用：【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
*/
ll pollard_rho(ll n) {
    // 参考 : https://qiita.com/Kiri8128/items/eca965fe86ea5f4cbb98
    // verify : https://algo-method.com/tasks/553
    //【方法】
    // 適当な定数 c をとり関数 f : Z/nZ → Z/nZ を
    //      f(x) = x^2 + c
    // と定める．
    //
    // 適当な初期値 x[0] = y[0] (= 2) から始め，Z/nZ 上の数列を漸化式
    //      x[i + 1] = f(x[i]), y[i + 1] = f(f(y[i]))
    // で定める．フロイドの循環検出法より，もし
    //      gcd(x[i] - y[i], n) = g ∈ [2..n-1]
    // であれば，これは f が Z/gZ（g は n の真の約数）で巡回したことを意味する．
    //
    // 実際には，
    //      x は r = (2 冪) 個ずつ進める（定数 1/2 倍）
    //      gcd の計算を m = n^(1/8) 程度個まとめて行う（gcd の log を落とす）
    // ことにより高速化を図る．
    if (!(n & 1)) return 2;
    int m = 1 << (msb(n) / 8);
    mll::set_mod(n); // n は合成数だが割り算は使わないので問題ない
    const int c_max = 99; // c を最大どこまで試すか
    repi(c, 1, c_max) {
        auto f = [&](mll x) { return x * x + c; };
        mll x, y = 2, y_bak;
        ll g = 1;
        int r = 1;
        // g = 1 である間は巡回未検出
        while (g == 1) {
            // x, y を r = 2^i だけ一気に進める．
            x = y;
            rep(hoge, r) y = f(y);
            // 次の r = 2^i 個をまとめて見る．
            for (int k = 0; k < r; k += m) {
                // 一気に掛けすぎて g = n となってしまった場合の復元用
                y_bak = y;
                // m 個ごとにまとめて見る．
                mll mul = 1;
                rep(i, min(m, r - k)) {
                    y = f(y);
                    // 複数個掛けておき，後でまとめて gcd を計算する．
                    //（フロイドの循環検出法とは違い x を固定しているが，
                    // 巡回は検出できるので問題ない．）
                    mul *= x - y;
                }
                g = gcd(mul.val(), n);
                // g != 1 なら巡回を検出できたので次の処理へ
                if (g != 1) goto LOOP_END;
            }
            r *= 2;
        }
    LOOP_END:;
        // 一気に掛けすぎて g = n となってしまった（であろう）場合
        if (g == n) {
            // 復元用に残しておいた x, y_bak から再スタート
            g = 1;
            while (g == 1) {
                y_bak = f(y_bak);
                g = gcd((x - y_bak).val(), n);
            }
        }
        // g < n なら g が n の真の約数なのでそれを返す．
        if (g < n) return g;
        // g = n ならたまたま真の約数が全て同時検出されてしまったので，
        // 関数 f における定数項 c の値を別のものに取り替えて再挑戦．
    }
    // 複数個の c を試してなお失敗したなら諦める．
    return n;
}
//【素因数分解】O(n^(1/4))
/*
* n を素因数分解した結果を pps に格納する．
* pps[p] = d : n に素因数 p が d 個含まれていることを表す．
*
* 利用：【素数判定】,【約数検出】
*/
void factor_integer(ll n, map<ll, int>& pps) {
    // verify : https://algo-method.com/tasks/553
    pps.clear();
    if (n == 1) return;
    // 検出した約数を記録しておくキュー
    queue<ll> divs;
    divs.push(n);
    while (!divs.empty()) {
        ll d = divs.front();
        divs.pop();
        // 約数が素数なら素因数発見
        if (miller_rabin(d)) {
            pps[d]++;
        }
        // 約数が合成数なら新たな約数を 2 つ発見する
        else {
            ll d1 = pollard_rho(d);
            ll d2 = d / d1;
            divs.push(d1);
            divs.push(d2);
        }
    }
}
//【Zobrist Hash（集合）】
/*
* 集合 S ⊂ X のハッシュ値を計算する．
*
* Zobrist_hash_set<X>() : O(1)
*   S を空集合として初期化する．
*
* flip(X x) : O(1)
*   S に対し要素 x の有無を反転する．
*
* ll get() : O(1)
*   現時点での集合 S のハッシュ値を返す．
*/
template <class X> struct Zobrist_hash_set {
    // verify : https://www.codechef.com/problems/COOK82D
    // ハッシュ値
    ll v;
    // 各 x ∈ X に対するハッシュの割り当て
    unordered_map<X, ll> x_to_hash;
    // 乱数生成器
    mt19937_64 mt;
    uniform_int_distribution<ll> rnd;
    // コンストラクタ（空集合で初期化）
    Zobrist_hash_set() : v(0) {
        mt.seed((int)time(NULL));
        rnd = uniform_int_distribution<ll>(-INFL, INFL);
    }
    // S に対し要素 x の有無を反転する．
    void flip(const X& x) {
        // x が初めて出現した場合はハッシュ値を割り当てる．
        if (!x_to_hash.count(x)) {
            x_to_hash[x] = rnd(mt);
        }
        // ハッシュ値の更新
        v ^= x_to_hash[x];
    }
    // 現時点での関数 f のハッシュ値を返す．
    ll get() { return v; }
#ifdef _MSC_VER
    friend ostream& operator<<(ostream& os, Zobrist_hash_set z) {
        os << "v: " << z.v << endl;
        return os;
    }
#endif
};
void TLE() {
    int t;
    cin >> t;
    rep(hoge, t) {
        int n;
        cin >> n;
        vl a(n);
        cin >> a;
        Zobrist_hash_set<ll> zh;
        rep(i, n) {
            map<ll, int> pps;
            factor_integer(a[i], pps);
            repe(pp, pps) {
                if (pp.second % 2 == 0) continue;
                zh.flip(pp.first);
            }
        }
        Yes(zh.get() == 0);
    }
}
vi ps = { 998244353, 998244389, 998244391, 998244397, 998244407, 998244431,
998244433, 998244473, 998244487, 998244493, 998244521, 998244523,
998244529, 998244601, 998244617, 998244619, 998244631, 998244649,
998244673, 998244677, 998244679, 998244707, 998244713, 998244749,
998244761, 998244787, 998244799, 998244803, 998244839, 998244853,
998244889, 998244893, 998244899, 998244911, 998244943, 998244967,
998244991, 998245037, 998245063, 998245091, 998245097, 998245099,
998245109, 998245111, 998245141, 998245147, 998245153, 998245159,
998245169, 998245177, 998245189, 998245207, 998245211, 998245223,
998245247, 998245331, 998245349, 998245373, 998245403, 998245463,
998245481, 998245483, 998245487, 998245489, 998245531, 998245543,
998245553, 998245571, 998245613, 998245631, 998245639, 998245687,
998245697, 998245709, 998245711, 998245733, 998245739, 998245757,
998245777, 998245799, 998245837, 998245867, 998245877, 998245909,
998245943, 998245949, 998245981, 998246021, 998246047, 998246071,
998246077, 998246101, 998246129, 998246143, 998246177, 998246189,
998246191, 998246237, 998246251, 998246257, 998246261 };
//【平方剰余】O(√p)
/*
* x^2 = a mod p の解 x の一方を返す．（なければ -1）
*
* 制約 : p = mint::mod() は素数
*
*（トネリ－シャンクスのアルゴリズム）
*/
int sqrt(const mint& a) {
    // 参考：https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/tonelli-shanks.html
    // verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod
    //【方法】
    // p = mod, p - 1 = 2^d q（q : 奇数）と表しておく．
    // 
    // 適当な平方非剰余 z を見つける．
    // オイラーの基準より，
    //      z が平方非剰余 ⇔ z^((p-1)/2) = -1
    // である．
    //
    // t = a^q と初期化する．a は平方剰余なので，オイラーの基準より
    //      t^(2^(d-1)) = a^(2^(d-1) q) = a^((p-1)/2) = 1
    // となる．
    //
    // i = [d-2..0] について，t^(2^i) = -1 であれば
    //      t *= z^((p-1) / 2^(i+1))
    // と t を更新する．
    //      (z^((p-1) / 2^(i+1)))^(2^i) = z^(2^i (p-1) / 2^(i+1)) = z^((p-1) / 2) = -1
    // なので，この更新により t^(2^i) = 1 となる．
    // i = 0 まで更新を終えれば，最終的に t = 1 となる．
    //
    // 求める x は
    //      x = a^(1/2) = (t a)^(1/2)
    // と表されるから，2 のべきを 1 つ小さくしながら途中計算することにより，
    // 先の計算と同時に x を得ることができる．
    // 法 p を得る．
    const int p = mint::mod();
    // p = 2 の場合の例外処理
    if (p == 2) return a.val();
    // a が平方非剰余なら -1 を返す．
    if (a.pow((p - 1) / 2) == -1) {
        return -1;
    }
    // mod - 1 = 2^d q（q : 奇数）なる d, q を得る．
    int q = p - 1, d = 0;
    while (q % 2 == 0) {
        q /= 2;
        d++;
    }
    // 適当な平方非剰余 z を見つける．
    mint z = 2;
    while (z.pow((p - 1) / 2) == 1) {
        z += 1;
    }
    // t を更新しつつ結果を得る．
    mint t = a.pow(q), res = a.pow((q + 1) / 2);
    repir(i, d - 2, 0) {
        if (t.pow(1LL << i) == -1) {
            t *= z.pow((p - 1) >> (i + 1));
            res *= z.pow((p - 1) >> (i + 2));
        }
    }
    return res.val();
}
int main() {
//  input_from_file("input.txt");
//  output_to_file("output.txt");
    
    int t;
    cin >> t;
    rep(hoge, t) {
        int n;
        cin >> n;
        vl a(n);
        cin >> a;
        bool ok = true;
        rep(i, 20) {
            mint::set_mod(ps[i]);
            mint v = 1;
            repe(x, a) v *= x;
            if (sqrt(v) == -1) {
                ok = false;
                break;
            }
        }
        Yes(ok);
    }
}
הההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההה
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