結果
| 問題 |
No.1276 3枚のカード
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| コンテスト | |
| ユーザー |
 ecottea
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| 提出日時 | 2022-09-20 03:52:08 |
| 言語 | C++14 (gcc 13.3.0 + boost 1.87.0) |
| 結果 |
TLE
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| 実行時間 | - |
| コード長 | 14,425 bytes |
| コンパイル時間 | 4,608 ms |
| コンパイル使用メモリ | 244,748 KB |
| 実行使用メモリ | 21,556 KB |
| 最終ジャッジ日時 | 2024-12-22 03:06:41 |
| 合計ジャッジ時間 | 137,331 ms |
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ジャッジサーバーID （参考情報） |
judge1 / judge3 |
（要ログイン）
| ファイルパターン | 結果 |
|---|---|
| other | AC * 20 TLE * 41 |
ソースコード
#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用
// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>; using pll = pair<ll, ll>; using pil = pair<int, ll>; using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>; using vvi = vector<vi>; using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>; using vvl = vector<vl>; using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>; using vvb = vector<vb>; using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>; using vvc = vector<vc>; using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>; using vvd = vector<vd>; using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;
// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-12;
// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;
// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }
// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif
#endif // 折りたたみ用
//--------------AtCoder 専用--------------
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;
using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);
istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
//----------------------------------------
// O(n^3)
mint naive(ll n) {
mint res = 0;
repi(a, 1, n) repi(b, 1, n) repi(c, 1, n) {
if (b % a == 0 || a % b == 0 || c % b != 0 || b == c) continue;
res++;
}
return res;
}
void zikken() {
int N = 100;
vm res(N + 1);
repi(n, 1, N) {
res[n] = naive(n);
}
dump_list(res);
exit(0);
}
/*
{0, 0, 0, 0, 1, 2, 7, 10, 18, 27, 41, 49, 76, 88, 112, 142, 178, 197, 249, 272, 334, 385, 434, 465, 567, 620, 682, 753, 854, 900, 1044, 1096, 1214, 1310, 1400, 1508, 1709, 1778, 1883, 2002, 2214, 2293, 2518, 2603, 2787, 2993, 3130, 3225, 3544, 3683, 3904, 4076, 4305, 4419, 4724, 4924, 5253, 5453, 5639, 5771, 6278, 6420, 6622, 6939, 7278, 7527, 7924, 8085, 8405, 8658, 9099, 9272, 9904, 10087, 10342, 10732, 11100, 11413, 11898, 12099, 12720, 13094, 13386, 13600, 14365, 14717, 15027, 15367, 15940, 16176, 17015, 17405, 17872, 18244, 18590, 18990, 19878, 20146, 20663, 21220, 21959}
*/
//【素数の列挙】O(n log(log n))
/*
* n 以下の素数を列挙し，ps に昇順に格納する．
*/
void eratosthenes(int n, vi& ps) {
// verify : https://algo-method.com/tasks/330
ps.clear();
// 素数かどうかを記録しておくためのテーブル
vb is_prime(n + 1, true);
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
int i = 2;
// √n 以下の i の処理
for (; i <= n / i; i++) {
if (is_prime[i]) {
ps.push_back(i);
for (int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
}
}
// √n より大きい i の処理
for (; i <= n; i++) if (is_prime[i]) ps.push_back(i);
}
//【約数変換，LCM 畳込み】
/*
* Divisor_transform<T>(int n) : O(n log(log n))
* n までの素数を持って初期化する．
*
* divisor_zeta(vT& a) : O(n log(log n))
* A[j] = Σ_(i | j) a[i] なる A に上書きする．
* （約数ゼータ変換，倍数への累積和）
*
* divisor_mobius(vT& A) : O(n log(log n))
* A[j] = Σ_(i | j) a[i] なる a に上書きする．
* （約数メビウス変換，約数への差分）
*
* vT lcm_convolution(vT a, vT b) : O(n log(log n))
* c[k] = Σ_(lcm(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
* ただし c[n] を含めそれ以降は切り捨てる．
*
* 制約：1-indexed とし，a[0], b[0] は使用しない．
*
* 利用：【素数の列挙】
*/
template <typename T> struct Divisor_transform {
// 参考 : https://qiita.com/convexineq/items/afc84dfb9ee4ec4a67d5
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/lcm_convolution
vi ps; // 素数のリスト
Divisor_transform() {}
Divisor_transform(int n) { eratosthenes(n, ps); }
void divisor_zeta(vector<T>& f) {
// 具体例：
// A[1] = a[1]
// A[2] = a[1] + a[2]
// A[3] = a[1] + a[3]
// A[4] = a[1] + a[2] + a[4]
// A[5] = a[1] + a[5]
// A[6] = a[1] + a[2] + a[3] + a[6]
// A[7] = a[1] + a[7]
// A[8] = a[1] + a[2] + a[4] + a[8]
int n = sz(f);
// 各素因数ごとに下からの累積和をとる
repe(p, ps) {
repi(i, 1, (n - 1) / p) f[p * i] += f[i];
}
}
void divisor_mobius(vector<T>& f) {
int n = sz(f);
// 各素因数ごとに上からの差分をとる
repe(p, ps) {
repir(i, (n - 1) / p, 1) f[p * i] -= f[i];
}
}
vector<T> lcm_convolution(vector<T> a, vector<T> b) {
int n = sz(a);
// 各素因数の max をとったものが lcm なので max 畳込みを行う．
divisor_zeta(a); divisor_zeta(b);
rep(i, n) a[i] *= b[i];
divisor_mobius(a);
return a;
}
};
//【約数関数 σ_k(n)】O(n log(log n))
/*
* i = [1..n] について約数関数 σ_k(i) = (i の約数の k 乗和) を s[i] に格納する．
* 特に k = 0 なら約数の個数，k = 1 なら約数の総和と等価である．
*
* 利用：【約数変換，LCM 畳込み】
*/
template <class T> void divisor_sigma(int k, int n, vector<T>& s) {
// 参考 : https://maspypy.com/%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF%E5%85%A5%E9%96%80%EF%BC%9Adirichlet%E7%A9%8D%E3%81%A8%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6
// verify : https://atcoder.jp/contests/arc068/tasks/arc068_c
s.resize(n + 1);
s[0] = 0;
repi(i, 1, n) s[i] = T(pow(i, k));
Divisor_transform<T> dt(n);
dt.divisor_zeta(s);
}
// O(n log(log n))
mint TLE(ll n) {
vm s;
divisor_sigma(0, n, s);
mint res = 0;
repi(b, 1, n) {
res += mint(n / b - 1) * (n - (n / b) + 1 - s[b]);
}
return res;
}
//【商列挙】O(√n)
/*
* i=[1..n] に対し，n/i の商が q となる i の範囲が [i1..i2) であることを
* {q, i1, i2} として q について降順に qi に格納する．
* 各範囲においては余りは公差 -q の等差数列を成す．
*/
void quotient_range(ll n, vector<tuple<ll, ll, ll>>& qi) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc230/tasks/abc230_e
//【方法】
// n/i の商が q となるような i の範囲を考える．条件を i について整理すると
// q = floor(n / i)
// ⇔ q <= n / i < q + 1
// ⇔ i q <= n < i(q + 1)
// ⇔ n / (q + 1) < i <= n / q
// となる．
//
// この幅が 1 以下であれば，q に対応する i は高々 1 個である．その条件は
// n / q - n / (q + 1) <= 1
// ⇔ (q + 1)n - q n <= q(q + 1)
// ⇔ n <= q(q + 1)
// である．条件をやや弱めて
// n <= q^2
// ⇔ √n <= q
// としてもオーダーに影響はない．
//（例）
// 例えば n = 15 のときは以下のように分類できる：
// 商 n/i i の範囲 余り n%i
// 15 [1..2) [0]
// 7 [2..3) [1]
// 5 [3..4) [0]
// 3 [4..6) [3, 0]
// 2 [6..8) [3, 1]
// 1 [8..16) [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
ll m = (ll)(sqrt(n) + EPS);
// q に対応する i が高々 1 個の部分は i ごとに愚直に考える．
for (int i = 1; n / i > m; i++) {
qi.push_back({ n / i, i, i + 1 });
}
// そうでない部分は q ごとにまとめて考える．
repir(q, m, 1) {
ll i0 = n / (q + 1LL) + 1;
ll i1 = n / q + 1;
qi.push_back({ q, i0, i1 });
}
}
//【約数個数関数の総和】O(n^(3/4) / log n)
/*
* Σi∈[1..n] σ_0(i) を返す．
*/
mint divisor_count_sum(ll n) {
// 参考 : https://rsk0315.github.io/slides/prime-counting.pdf
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function
//【方法】
// 自然数 i の最大素因数を gpf(i) と表す．
// 頂点 [1..n] をもち，i の親が i / gpf(i) である木 T を考える．（根は 1）
// T はほとんどが葉であるという性質をもつ．
// 葉でない各節点 i について Σj∈(iの子) σ_0(j) を求められれば，(それらの総和) + 1 が求める値である．
//
// 例えば n = 40 のときの i = 2 を考えると，その子は
// 4, 6, 10, 14, 22, 26, 34, 38
// である．これらに σ_0 を施した値の総和は，σ_0 の乗法性より
// Σj∈(iの子) σ_0(j)
// = σ_0(4) + σ_0(2) (σ_0(3) + σ_0(5) + σ_0(7) + σ_0(11) + σ_0(13) + σ_0(17) + σ_0(19))
// = σ_0(4) + σ_0(2) (3^0+1 + 5^0+1 + 7^0+1 + 11^0+1 + 13^0+1 + 17^0+1 + 19^0+1)
// = σ_0(4) + σ_0(2) (2 ([3..n/2] 内の素数の個数))
// として求められるので，素数の個数を前計算で求めておけば良い．
//
// またこの場合 i * 5^2 > n となるので，10 以上の子は全て葉であることが探索しなくても分かる．
// T はほとんどが葉なので，葉のみの枝刈りとはいえ真に計算量が改善する．
if (n <= 1) return max(n, 0LL);
int m = (int)(sqrt(n) + EPS);
// inv[i] : i の逆数
vm inv(msb(n) + 2);
repi(i, 1, sz(inv) - 1) inv[i] = mint(i).inv();
// 1 と素数の昇順リスト
vl ps{ 1 };
// cnt0_p[v] : [2..v] 内の p 以下の素数で篩い終えた後残っている数の個数
// cnt1_p[v] : [2..n/v] 内の p 以下の素数で篩い終えた後残っている数の個数
vl cnt0(m + 1), cnt1(m + 1);
repi(v, 1, m) {
cnt0[v] = v - 1;
cnt1[v] = n / v - 1;
}
repi(p, 2, m) {
ll c = cnt0[p - 1];
// p が素数でなければ次の p へ
if (cnt0[p] == c) continue;
ps.push_back(p);
// cnt1 の更新
repi(v, 1, m) {
// p^2 > n/v なら更新不要
if (p > n / v / p) break;
if (v <= m / p) {
cnt1[v] -= cnt1[v * p] - c;
}
else {
cnt1[v] -= cnt0[n / v / p] - c;
}
}
// cnt0 の更新
repir(v, m, 1) {
// p^2 > v なら更新不要
if (p > v / p) break;
cnt0[v] -= cnt0[v / p] - c;
}
}
mint res = 1;
// s : 注目頂点, i_gpf : s の最大素因数が何番目の素数か, sg : σ_0(s), c : s の最大素因数の指数
function<void(ll, int, mint, int)> dfs = [&](ll s, int i_gpf, mint sg, int c) {
// dump("dfs:", s, ps[i_gpf], sg, c);
ll p = ps[i_gpf];
// s の最小の子 s * p からの寄与を加算する．
if (s != 1) res += sg * inv[c + 1] * (c + 2);
// その他の s の子からの寄与をまとめて加算する．
if (s <= m) res += sg * ((2 * cnt1[s]) - (2 * cnt0[p]));
else res += sg * ((2 * cnt0[n / s]) - (2 * cnt0[p]));
// s の最小の子 s * p を探索する．
if (s != 1 && s <= n / (p * p)) dfs(s * p, i_gpf, sg * inv[c + 1] * (c + 2), c + 1);
// その他の s の子を探索する．
for (int i = i_gpf + 1; i < sz(ps) && s <= n / (ps[i] * ps[i]); i++) {
dfs(s * ps[i], i, sg * 2, 1);
}
};
dfs(1, 0, 1, 0);
return res;
}
int main() {
// input_from_file("input.txt");
// output_to_file("output.txt");
// zikken();
ll n;
cin >> n;
dump(naive(n));
dump(TLE(n));
vector<tuple<ll, ll, ll>> qis;
quotient_range(n, qis);
mint res = 0; mint s1 = 0;
repe(qi, qis) {
ll q, i1, i2;
tie(q, i1, i2) = qi;
mint s2 = divisor_count_sum(i2 - 1);
res += mint(q - 1) * (mint(n - q + 1) * (i2 - i1) - (s2 - s1));
s1 = s2;
dump(q, i1, i2, s2);
}
cout << res << endl;
}