#857944 (C++17) No.2262 Fractions

• 問題: No.2262 Fractions
• ユーザー: ecottea
• 提出日時: 2023-04-08 17:43:12
• 言語: C++17 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
• 結果: AC
• 実行時間: 94 ms / 2,000 ms
• コード長: 13,234 bytes
• コンパイル時間: 3,909 ms
• コンパイル使用メモリ: 267,664 KB
• 実行使用メモリ: 8,320 KB
• 最終ジャッジ日時: 2024-05-05 07:30:06
• 合計ジャッジ時間: 7,914 ms
• ジャッジサーバーID （参考情報）: judge4 / judge5

入力	結果	実行時間; 実行使用メモリ
testcase_00	AC	52 ms; 6,748 KB
testcase_01	AC	65 ms; 5,376 KB
testcase_02	AC	53 ms; 5,376 KB
testcase_03	AC	49 ms; 5,376 KB
testcase_04	AC	50 ms; 5,376 KB
testcase_05	AC	44 ms; 5,376 KB
testcase_06	AC	48 ms; 5,376 KB
testcase_07	AC	47 ms; 5,376 KB
testcase_08	AC	44 ms; 5,376 KB
testcase_09	AC	46 ms; 5,376 KB
testcase_10	AC	45 ms; 5,376 KB
testcase_11	AC	49 ms; 5,376 KB
testcase_12	AC	50 ms; 5,376 KB
testcase_13	AC	50 ms; 5,376 KB
testcase_14	AC	49 ms; 5,376 KB
testcase_15	AC	50 ms; 5,376 KB
testcase_16	AC	27 ms; 5,376 KB
testcase_17	AC	27 ms; 5,376 KB
testcase_18	AC	27 ms; 5,376 KB
testcase_19	AC	71 ms; 6,276 KB
testcase_20	AC	62 ms; 6,144 KB
testcase_21	AC	72 ms; 6,596 KB
testcase_22	AC	66 ms; 6,144 KB
testcase_23	AC	52 ms; 5,536 KB
testcase_24	AC	89 ms; 8,064 KB
testcase_25	AC	90 ms; 8,064 KB
testcase_26	AC	88 ms; 7,936 KB
testcase_27	AC	90 ms; 8,064 KB
testcase_28	AC	88 ms; 7,936 KB
testcase_29	AC	90 ms; 8,192 KB
testcase_30	AC	88 ms; 8,320 KB
testcase_31	AC	88 ms; 8,192 KB
testcase_32	AC	92 ms; 8,064 KB
testcase_33	AC	91 ms; 8,192 KB
testcase_34	AC	89 ms; 8,320 KB
testcase_35	AC	89 ms; 8,320 KB
testcase_36	AC	90 ms; 8,192 KB
testcase_37	AC	7 ms; 5,760 KB
testcase_38	AC	7 ms; 5,760 KB
testcase_39	AC	68 ms; 5,720 KB
testcase_40	AC	67 ms; 5,888 KB
testcase_41	AC	66 ms; 5,760 KB
testcase_42	AC	67 ms; 5,888 KB
testcase_43	AC	66 ms; 5,764 KB
testcase_44	AC	94 ms; 8,192 KB
testcase_45	AC	90 ms; 8,192 KB

ソースコード

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-15;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_list2D(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

//using mint = modint1000000007;
using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);

istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
#endif


//【二分探索（実数）】O(log(|ok - ng| / EPS))
/*
* 条件 okQ() を満たす要素 ok と満たさない要素 ng との境界を二分探索する．
*/
template <class T>
T binary_search(T ok, T ng, const function<bool(T)>& okQ, double EPS = 1e-12) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/abc189/tasks/abc189_f

	// 誤差 EPS で境界が決定するまで
	while (true) {
		// 区間の中間
		T mid = (ok + ng) / 2;
		//double mid = sqrt(ok * ng); // 相対誤差を小さくする場合

		// 絶対誤差か相対誤差が EPS 以下なら終了する．
		T err = abs(ok - ng);
		if (err <= EPS || err <= abs(mid) * EPS) {
			break;
		}

		// 中間が OK かどうかに応じて区間を縮小する．
		if (okQ(mid)) ok = mid;
		else ng = mid;
	}
	return (ok + ng) / 2;

	/* okQ の定義の雛形
	function<bool(double)> okQ = [&](double x) {
		return true || false;
	};
	*/
}


//【約数倍数変換】
/*
* Div_mul_transform<T>(int n) : O(n log(log n))
*   n 以下の素数を持って初期化する．
*
* divisor_zeta(vT& a) : O(n log(log n))
*   A[i] = Σ_(j | i) a[j] なる A に上書きする（約数からの寄与を足し込む）
*
* divisor_mobius(vT& A) : O(n log(log n))
*   A[i] = Σ_(j | i) a[j] なる a に上書きする（約数からの寄与を取り除く）
*
* vT lcm_convolution(vT a, vT b) : O(n log(log n))
*   c[k] = Σ_(LCM(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
*   ただし c[n] を含めそれ以降は切り捨てる．
*
* multiple_zeta(vT& a) : O(n log(log n))
*   A[i] = Σ_(i | j) a[j] なる A に上書きする（倍数からの寄与を足し込む）
*
* multiple_mobius(vT& A) : O(n log(log n))
*   A[i] = Σ_(i | j) a[j] なる a に上書きする（倍数からの寄与を取り除く）
*
* vT gcd_convolution(vT a, vT b) : O(n log(log n))
*   c[k] = Σ_(GCD(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
*
* 制約：1-indexed とし，a[0], b[0] は使用しない．
*/
template <typename T>
class Div_mul_transform {
	// 参考 : https://qiita.com/convexineq/items/afc84dfb9ee4ec4a67d5

	vi ps; // 素数のリスト

public:
	// n 以下の素数を持って初期化する．
	Div_mul_transform(int n) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution

		// is_prime[i] : i が素数か
		vb is_prime(n + 1, true);
		is_prime[0] = is_prime[1] = false;
		int i = 2;

		// √n 以下の i の処理
		for (; i <= n / i; i++) if (is_prime[i]) {
			ps.push_back(i);
			for (int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
		}

		// √n より大きい i の処理
		for (; i <= n; i++) if (is_prime[i]) ps.push_back(i);
	}
	Div_mul_transform() {}

	// A[i] = Σ_(j | i) a[j] なる A に上書きする（約数からの寄与を足し込む）
	void divisor_zeta(vector<T>& a) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/lcm_convolution

		//【例（n = 8 のとき）】
		//	A[1] = a[1]
		//	A[2] = a[1] + a[2]
		//	A[3] = a[1]        + a[3]
		//	A[4] = a[1] + a[2]        + a[4]
		//	A[5] = a[1]                      + a[5]
		//	A[6] = a[1] + a[2] + a[3]               + a[6]
		//	A[7] = a[1]                                    + a[7]
		//	A[8] = a[1] + a[2]        + a[4]                      + a[8]

		int n = sz(a) - 1;

		// 各素因数ごとに下からの累積和をとる
		repe(p, ps) repi(i, 1, n / p) a[p * i] += a[i];
	}

	//  A[i] = Σ_(j | i) a[j] なる a に上書きする（約数からの寄与を取り除く）
	void divisor_mobius(vector<T>& A) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/lcm_convolution

		//【例（n = 8 のとき）】
		//	a[1] =  A[1]
		//	a[2] = -A[1] + A[2]
		//	a[3] = -A[1]        + A[3]
		//	a[4] =       - A[2]        + A[4]
		//	a[5] = -A[1]                      + A[5]
		//	a[6] =  A[1] - A[2] - A[3]               + A[6]
		//	a[7] = -A[1]                                    + A[7]
		//	a[8] =                     - A[4]                      + A[8]

		int n = sz(A) - 1;

		// 各素因数ごとに上からの差分をとる
		repe(p, ps) repir(i, n / p, 1) A[p * i] -= A[i];
	}

	// c[k] = Σ_(LCM(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
	vector<T> lcm_convolution(vector<T> a, vector<T> b) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/lcm_convolution

		int n = sz(a) - 1;

		// 各素因数の max をとったものが LCM なので max 畳込みを行う．
		divisor_zeta(a); divisor_zeta(b);
		repi(i, 1, n) a[i] *= b[i];
		divisor_mobius(a);
		return a;
	}

	// A[i] = Σ_(i | j) a[j] なる A に上書きする（倍数からの寄与を足し込む）
	void multiple_zeta(vector<T>& a) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution

		//【例（n = 8 のとき）】
		//	A[1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8]
		//	A[2] =        a[2]        + a[4]        + a[6]        + a[8]
		//	A[3] =               a[3]               + a[6]              
		//	A[4] =                      a[4]                      + a[8]
		//	A[5] =                             a[5]                     
		//	A[6] =                                    a[6]              
		//	A[7] =                                           a[7]       
		//	A[8] =                                                  a[8]

		int n = sz(a) - 1;

		// 各素因数ごとに上からの累積和をとる
		repe(p, ps) repir(i, n / p, 1) a[i] += a[p * i];
	}

	// A[i] = Σ_(i | j) a[j] なる a に上書きする（倍数からの寄与を取り除く）
	void multiple_mobius(vector<T>& A) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution

		//【例（n = 8 のとき）】
		//	a[1] = A[1] - A[2] - A[3]        - A[5] + A[6] - a[7]       
		//	a[2] =        A[2]        - A[4]        - A[6]              
		//	a[3] =               A[3]               - A[6]              
		//	a[4] =                      A[4]                      - A[8]
		//	a[5] =                             A[5]                     
		//	a[6] =                                    A[6]              
		//	a[7] =                                           A[7]       
		//	a[8] =                                                  A[8]

		int n = sz(A) - 1;

		// 各素因数ごとに下からの差分をとる
		repe(p, ps) repi(i, 1, n / p) A[i] -= A[p * i];
	}

	// c[k] = Σ_(GCD(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
	vector<T> gcd_convolution(vector<T> a, vector<T> b) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution

		int n = sz(a) - 1;

		// 各素因数の min をとったものが GCD なので min 畳込みを行う．
		multiple_zeta(a); multiple_zeta(b);
		repi(i, 1, n) a[i] *= b[i];
		multiple_mobius(a);
		return a;
	}
};


//【有理数近似】O(log dnm)
/*
* 実数 x を分母が dnm_max 以下の既約分数 num / dnm で近似し，組 {num, dnm} を返す．
* 最良の近似であるとは限らないので注意．
*/
pll rationalize(double x, ll dnm_max = INFL) {
	// 参考 : https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
	// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2262

	ll sign = (x >= 0 ? 1 : -1);
	x = abs(x);

	vl ps{ 1, (ll)x };
	vl qs{ 0, 1 };
	
	// x の正則連分数展開に基づく近似を行う．
	repi(i, 2, INF) {
		x -= floor(x);
		if (x < EPS) break;
		x = 1 / x; // 誤差やばい

		ll a = (ll)x;

		// a * qs[i - 1] + qs[i - 2] > dnm_max となるなら打ち切り
		if (a > (dnm_max - qs[i - 2]) / qs[i - 1]) break;

		ps.push_back(a * ps[i - 1] + ps[i - 2]);
		qs.push_back(a * qs[i - 1] + qs[i - 2]);
	}

	return { sign * ps.back(), qs.back() };
}


pll solve(int n, ll k) {
	Div_mul_transform<ll> DMT(n);

	vl b(n + 1);
	iota(all(b), 0);
	DMT.divisor_mobius(b);

	ll k_max = accumulate(all(b), 0LL);

	bool swap_flag = false;
	if (k < k_max);
	else if (k == k_max) return { 1, 1 };
	else if (k < k_max * 2) {
		k = 2 * k_max - k;
		swap_flag = true;
	}
	else {
		return { 0, 0 };
	}

	// x 以下の既約分数が k 個以上あるかを返す．
	function<bool(double)> okQ = [&](double x) {
		// b[i] : x 以下で分母が i の正の分数の個数
		vl b(n + 1);
		repi(i, 1, n) b[i] = (ll)(i * x);

		DMT.divisor_mobius(b);

		return accumulate(all(b), 0LL) >= k;
	};

	double x = binary_search(1., 0., okQ);
	dump(x);

	auto [num, dnm] = rationalize(x, n);
	if (swap_flag) swap(num, dnm);

	return { num, dnm };
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	int t;
	cin >> t;

	rep(hoge, t) {
		dump("------------------------");

		int n; ll k;
		cin >> n >> k;

		auto [num, dnm] = solve(n, k);

		if (dnm != 0) cout << num << "/" << dnm << endl;
		else cout << -1 << endl;
	}
}