結果

問題 No.2266 Fractions (hard)
ユーザー ecotteaecottea
提出日時 2023-04-08 18:39:33
言語 C++17
(gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果
AC  
実行時間 1,875 ms / 6,000 ms
コード長 14,322 bytes
コンパイル時間 5,025 ms
コンパイル使用メモリ 266,376 KB
実行使用メモリ 15,052 KB
最終ジャッジ日時 2024-04-14 15:25:59
合計ジャッジ時間 34,874 ms
ジャッジサーバーID
（参考情報） 		judge4 / judge2
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入力 結果 実行時間
実行使用メモリ
testcase_00 AC 461 ms
14,896 KB
testcase_01 AC 1,845 ms
14,928 KB
testcase_02 AC 1,668 ms
14,924 KB
testcase_03 AC 2 ms
6,944 KB
testcase_04 AC 15 ms
11,648 KB
testcase_05 AC 60 ms
6,940 KB
testcase_06 AC 480 ms
14,896 KB
testcase_07 AC 432 ms
14,900 KB
testcase_08 AC 40 ms
6,940 KB
testcase_09 AC 23 ms
6,940 KB
testcase_10 AC 25 ms
6,944 KB
testcase_11 AC 3 ms
6,944 KB
testcase_12 AC 163 ms
8,660 KB
testcase_13 AC 1,463 ms
14,920 KB
testcase_14 AC 26 ms
11,648 KB
testcase_15 AC 28 ms
11,648 KB
testcase_16 AC 1,240 ms
14,904 KB
testcase_17 AC 1,227 ms
14,956 KB
testcase_18 AC 1,483 ms
14,912 KB
testcase_19 AC 1,635 ms
15,044 KB
testcase_20 AC 25 ms
11,520 KB
testcase_21 AC 1,843 ms
14,924 KB
testcase_22 AC 853 ms
14,908 KB
testcase_23 AC 32 ms
11,776 KB
testcase_24 AC 33 ms
11,648 KB
testcase_25 AC 1,858 ms
14,920 KB
testcase_26 AC 32 ms
11,776 KB
testcase_27 AC 1,827 ms
14,924 KB
testcase_28 AC 34 ms
11,648 KB
testcase_29 AC 34 ms
11,648 KB
testcase_30 AC 32 ms
11,648 KB
testcase_31 AC 32 ms
11,648 KB
testcase_32 AC 1,811 ms
14,928 KB
testcase_33 AC 2 ms
6,940 KB
testcase_34 AC 1,795 ms
14,924 KB
testcase_35 AC 1,803 ms
15,052 KB
testcase_36 AC 1,863 ms
14,924 KB
testcase_37 AC 1,875 ms
14,928 KB
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ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-15;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_list2D(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

//using mint = modint1000000007;
using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);

istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
#endif


#ifdef _MSC_VER
#define __int128 ll // デバッグ用
#endif


//【めぐる式二分探索】O(log|ok - ng|)
/*
* 条件 okQ() を満たす要素 ok と満たさない要素 ng との境界を二分探索する．
* 境界に隣り合うような条件を満たす要素（ok 側）の位置を返す．
*/
template <class T>
T meguru_search(T ok, T ng, const function<bool(T)>& okQ) {
	// 参考 : https://twitter.com/meguru_comp/status/697008509376835584
	// verify : https://atcoder.jp/contests/abc023/tasks/abc023_d

	// 境界が決定するまで
	while (abs(ok - ng) > 1) {
		// 区間の中間
		T mid = (ok + ng) / 2;

		// 中間が OK かどうかに応じて区間を縮小する．
		if (okQ(mid)) ok = mid;
		else ng = mid;
	}
	return ok;

	/* okQ の定義の雛形
	using T = ll;
	function<bool(T)> okQ = [&](T x) {
		return true || false;
	};
	*/
}


//【ディリクレ畳込みの累積和（乗法的，一括）】
/*
* Multiplicative_dirichlet_convolution_acc<T>(int p_max) : O(p_max log(log p_max))
*	p_max ≧ nl 以下の素数を持って初期化する．
*	乗法的数論関数 a[1..n] と数論関数 b[1..n] のディリクレ畳込みを c[1..n] とする．
*	nl, nh は nh ≦ nl ≦ n ≦ nl nh を満たすとし，al, bl, cl, Ah, Bh, Ch は以下の通りとする：
*		al[i] = a[i]		(i∈[1..nl]),  bl, cl も同様
*		Ah[i] = Σa[1..n/i]	(i∈[1..nh]),  Bh, Ch も同様
*
* conv_acc(ll n, vT al, vT Ah, vT bl, vT Bh, vT& cl, vT& Ch) : O(nl log(log nl) + √(n nh))
*	上記 al, Ah, bl, Bh をもとに cl, Ch を計算し格納する．
*
* inv_conv_acc(ll n, vT al, vT Ah, vT cl, vT Ch, vT& bl, vT& Bh) : O(nl log(log nl) + √(n nh))
*	上記 al, Ah, cl, Ch をもとに bl, Bh を計算し格納する．
*
* 特に nl = (n / log(log n))^(2/3) と選ぶと全体の計算量は O(n^(2/3) (log(log n))^(1/3)) になる．
*/
template <class T>
class Multiplicative_dirichlet_convolution_acc {
	// 参考 : https://maspypy.com/dirichlet-%e7%a9%8d%e3%81%a8%e3%80%81%e6%95%b0%e8%ab%96%e9%96%a2%e6%95%b0%e3%81%ae%e7%b4%af%e7%a9%8d%e5%92%8c

	int p_max;
	vi ps; // 素数のリスト

public:
	// nl 以下の素数を持って初期化する．
	Multiplicative_dirichlet_convolution_acc(int p_max) : p_max(p_max) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function

		// is_prime[i] : i が素数か
		vb is_prime(p_max + 1, true);
		is_prime[0] = is_prime[1] = false;
		int i = 2;

		// √p_max 以下の i の処理
		for (; i <= p_max / i; i++) if (is_prime[i]) {
			ps.push_back(i);
			for (int j = i * i; j <= p_max; j += i) is_prime[j] = false;
		}

		// √p_max より大きい i の処理
		for (; i <= p_max; i++) if (is_prime[i]) ps.push_back(i);
	}

	// al, Ah, bl, Bh をもとに cl, Ch を計算し格納する．
	void conv_acc(ll n, const vector<T>& al, const vector<T>& Ah,
		const vector<T>& bl, const vector<T>& Bh, vector<T>& cl, vector<T>& Ch)
	{
		int nl = sz(al) - 1, nh = sz(Ah) - 1;
		Assert(nl <= p_max); Assert(nh <= nl); Assert(nl <= n); Assert(n <= (ll)nl * nh);

		cl = bl, Ch.assign(nh + 1, 0);

		// cl[1..nl] を計算する．
		repe(p, ps) repir(j, nl / p, 1) {
			for (ll i = p; i * j <= nl; i *= p) cl[i * j] += al[i] * cl[j];
		}

		// Al[i] = Σa[1..i], Bl[i] = Σb[1..i]
		vector<T> Al(nl + 1), Bl(nl + 1);
		repi(i, 1, nl) {
			Al[i] = Al[i - 1] + al[i];
			Bl[i] = Bl[i - 1] + bl[i];
		}

		auto get_Ah = [&](ll i) { return i <= nh ? Ah[i] : Al[n / i]; };
		auto get_Bh = [&](ll i) { return i <= nh ? Bh[i] : Bl[n / i]; };

		// 各 Ch[k] を平方分割で計算する．
		repi(k, 1, nh) {
			int m = (int)(sqrt(n / k) + 1e-12);
			repi(i, 1, m) Ch[k] += al[i] * get_Bh((ll)k * i);
			repi(j, 1, m) Ch[k] += bl[j] * (get_Ah((ll)k * j) - Al[m]);
		}
	}

	// al, Ah, cl, Ch をもとに bl, Bh を計算し格納する．
	void inv_conv_acc(ll n, const vector<T>& al, const vector<T>& Ah,
		const vector<T>& cl, const vector<T>& Ch, vector<T>& bl, vector<T>& Bh)
	{
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_totient_function

		Assert(al[1] != 0);
		int nl = sz(al) - 1, nh = sz(Ah) - 1;
		Assert(nl <= p_max); Assert(nh <= nl); Assert(nl <= n); Assert(n <= (ll)nl * nh);
		bl = cl, Bh = Ch;

		// bl[1..nl] を計算する．
		repe(p, ps) repi(j, 1, nl / p) {
			bl[j] /= al[1];
			for (ll i = p; i * j <= nl; i *= p) bl[i * j] -= al[i] * bl[j];
		}

		// Al[i] = Σa[1..i], Bl[i] = Σb[1..i]
		vector<T> Al(nl + 1), Bl(nl + 1);
		repi(i, 1, nl) {
			Al[i] = Al[i - 1] + al[i];
			Bl[i] = Bl[i - 1] + bl[i];
		}

		auto get_Ah = [&](ll i) { return i <= nh ? Ah[i] : Al[n / i]; };
		auto get_Bh = [&](ll i) { return i <= nh ? Bh[i] : Bl[n / i]; };

		// 各 Bh[k] を平方分割で計算する．
		repir(k, nh, 1) {
			int m = (int)(sqrt(n / k) + 1e-12);
			repi(i, 2, m) Bh[k] -= al[i] * get_Bh((ll)k * i);
			repi(j, 1, m) Bh[k] -= bl[j] * (get_Ah((ll)k * j) - Al[m]);
			Bh[k] /= al[1];
		}
	}
};


//【有理数近似】O(log dnm)
/*
* 実数 x を分母が dnm_max 以下の既約分数 num / dnm で近似し，組 {num, dnm} を返す．
* 最良の近似であるとは限らないので注意．
*/
template <class T>
pair<T, T> rationalize(long double x, T dnm_max = T(INFL), long double EPS = 1e-18) {
	// 参考 : https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
	// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2262

	T sign = (x >= 0 ? 1 : -1);
	x = abs(x);

	vector<T> ps{ 1, (ll)x };
	vector<T> qs{ 0, 1 };
	
	// x の正則連分数展開に基づく近似を行う．
	repi(i, 2, INF) {
		x -= floor(x);
		if (x < EPS) break;
		x = 1 / x; // 誤差やばい

		T a = T(x);

		// a * qs[i - 1] + qs[i - 2] > dnm_max となるなら打ち切り
		if (a > (dnm_max - qs[i - 2]) / qs[i - 1]) break;

		ps.push_back(a * ps[i - 1] + ps[i - 2]);
		qs.push_back(a * qs[i - 1] + qs[i - 2]);
	}

	return { sign * ps.back(), qs.back() };
}


//【一次式の切り捨て和】O(log(n + m + a + b))
/*
* Σi∈[0..n) floor((a i + b) / m) を返す．
*/
template <class T>
T floor_sum_linear(T n, T m, T a, T b) {
	// 参考：https://twitter.com/kyopro_friends/status/1304063876019793921?ref_src=twsrc%5Etfw

	//【方法】
	// m > 0, 0 <= a < m, 0 <= b < m として一般性を失わない．また i ← n - i とした
	//		 Σi∈(0..n] floor((a (n - i) + b) / m)
	// も値は変わらない．これは領域
	//		0 < x <= n
	//		0 < y <= (a (n - x) + b) / m
	// に含まれる格子点の個数と解釈できる．x と y の主従を入れ替えると
	//		0 < y <= (a n + b) / m
	//		0 < x <= (-m y + a n + b) / a
	// となる．ここに含まれる格子点の個数は
	//		Σi∈(0..floor((a n + b) / m)] floor((-m i + a n + b) / a)
	// である．n' = floor((a n + b) / m) とおき，i ← n' - i とした
	//		Σi∈[0..n') floor((-m (n' - i) + a n + b) / a)
	//		= Σi∈[0..n') floor((m i + (- m n' + a n + b)) / a)
	// も値は変わらない．これで分母がより小さい問題に帰着できた．
	//
	// 次のステップに進む前に m ← m % a とするので，収束の速さはユークリッドの互除法と同じである．

	Assert(m != 0);
	if (n <= 0) return 0;

	T res = 0;

	// m < 0 の場合，分母分子を -1 倍して m > 0 とする．
	if (m < 0) { a *= -1; b *= -1; m *= -1; }

	// a を m だけ増減させた場合の影響は floor なしの和で計算できるので，0 <= a < m とする．
	res += (a / m - (T)(a % m < 0)) * (n * (n - 1) / 2);
	a = smod(a, m);

	// b を m だけ増減させた場合の影響は floor なしの和で計算できるので，0 <= b < m とする．
	res += (b / m - (T)(b % m < 0)) * n;
	b = smod(b, m);

	while (a > 0) {
		T nn = (a * n + b) / m;
		T nm = a;
		T na = m;
		T nb = -m * nn + a * n + b;

		res += (na / nm - (T)(na % nm < 0)) * (nn * (nn - 1) / 2);
		na = smod(na, nm);

		res += (nb / nm - (T)(nb % nm < 0)) * nn;
		nb = smod(nb, nm);

		n = nn; m = nm; a = na; b = nb;
	}

	return res;
}


pll solve(ll n, ll k) {
	__int128 DNM = 2 * n * n + 10;

	int n_max = (int)1e8;
	int nl = min((int)pow(n_max / log(log(n_max)), 2. / 3), (int)n);
	int nh = min((int)n / nl + 1, nl);

	vector<__int128> bl(nl + 1);
	repi(i, 1, nl) bl[i] = i;

	vector<__int128> Bh(nh + 1);
	repi(i, 1, nh) Bh[i] = (n / i) * (n / i + 1) / 2;

	vector<__int128> zl(nl + 1);
	repi(i, 1, nl) zl[i] = 1;

	vector<__int128> Zh(nh + 1);
	repi(i, 1, nh) Zh[i] = n / i;
//	dump(bl); dump(Bh); dump(zl); dump(Zh);

	Multiplicative_dirichlet_convolution_acc<__int128> MDC(nl);

	vector<__int128> al, Ah;
	MDC.inv_conv_acc(n, zl, Zh, bl, Bh, al, Ah);
//	dump(al); dump(Ah);

	ll k_max = (ll)Ah[1];
	dump(k_max);

	bool swap_flag = false;
	if (k < k_max);
	else if (k == k_max) return { 1, 1 };
	else if (k < k_max * 2) {
		k = 2 * k_max - k;
		swap_flag = true;
	}
	else {
		return { 0, 0 };
	}

	// x/DNM 以下の既約分数が k 個以上あるかを返す．
	function<bool(__int128)> okQ = [&](__int128 x) {
		// b[i] : x/DNM 以下で分母が i の正の分数の個数
		vector<__int128> bl(nl + 1);
		repi(i, 1, nl) bl[i] = i * x / DNM;

		vector<__int128> Bh(nh + 1);
		repi(i, 1, nh) Bh[i] = floor_sum_linear(__int128(n / i + 1), DNM, x, __int128(0));

		vector<__int128> al, Ah;
		MDC.inv_conv_acc(n, zl, Zh, bl, Bh, al, Ah);

		return Ah[1] >= k;
	};

	__int128 x = meguru_search(DNM, __int128(0), okQ);
	dump(x);

	auto [num, dnm] = rationalize((long double)x / DNM, n);
	if (swap_flag) swap(num, dnm);

	return { num, dnm };
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	ll n, k;
	cin >> n >> k;

	auto [num, dnm] = solve(n, k);

	if (dnm != 0) cout << num << "/" << dnm << endl;
	else cout << -1 << endl;
}
0