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問題 No.2368 I love a square root of 2
ユーザー shobonvip
提出日時 2023-06-30 02:42:19
言語 PyPy3
(7.3.15)
結果
AC  
実行時間 592 ms / 2,000 ms
コード長 2,562 bytes
コンパイル時間 342 ms
コンパイル使用メモリ 82,048 KB
実行使用メモリ 91,904 KB
最終ジャッジ日時 2024-07-06 16:13:42
合計ジャッジ時間 5,793 ms
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# 無理数のやつの議論によって, a + √2 b = a' + √2 b' ⇒ a = a' AND b = b'
# a + √2 b = 0 なら a = b = 0 を示せば良い.
# a ≠ 0 なら, √2 = -a/b は有理数になってしまい矛盾. よって, a = 0 となり, b = 0 が従う.
# 99999 + √2 99999 で網羅できるので, 最大でも a,b ≦ 300000 を調べればよい.
# 部分問題：求める X が K 以上となるような, 最大の整数 K を求めよう.
# 二分探索で, K(決め打ち) [未満]の X の個数を数えればよい.
# それが X 以下になるものが答え.
# K > a + √2 b は [ (K-a)² > 2b² AND a ≦ K ] と同値である.
# a を固定すると, b の範囲が二分探索かしゃくとりでわかる.
# K 未満が N 個未満なら, 求める X は K 以上.
# 本問題：X を求める.
# 今, K ≦ X < K+1 がわかっているとする.
# a に対して K ≦ a+√2 b < K+1 となる b は存在したりしなかったりする. しかし, それは [必ず X - (K未満の個数) となる.]
# よって, 列挙してソート, しかし比較関数がやや特殊な――を使えばよい.
# すべて合わせて O(√N log N) または O(√N log^2 N).
from functools import cmp_to_key
# a0 + a1 √2 < b0 + b1 √2
# a0 >= b0 なら,
# a0 - b0 < (b1 - a1) √2 
# b1 - a1 < 0 なら [False]
# そうでなく, (a0 - b0) ** 2 < (b1 - a1) ** 2 * 2 なら [True], そうでなかったら [False]
# a0 < b0 なら,
# b0 - a0 > (a1 - b1) √2
# a1 - b1 < 0 なら [True]
# そうでなく, (b0 - a0) ** 2 > (a1 - b1) ** 2 * 2 なら [True], そうでなかったら [False]
def cmp(a, b):
    if a == b: return 0
    if a[0] >= b[0]:
        if b[1] - a[1] < 0: return 1
        if (a[0] - b[0]) ** 2 < 2 * (b[1] - a[1]) ** 2: return -1
        return 1
    else:
        if a[1] - b[1] < 0: return 1
        if (b[0] - a[0]) ** 2 > 2 * (a[1] - b[1]) ** 2: return -1
        return 1
def cntunderk(k):
    y = 0
    cnt = 0
    for x in range(1, k+1):
        t = x * x
        while True:
            y += 1
            if 2 * y * y >= t:
                y -= 1
                break
        cnt += y + 1
    return cnt
n = int(input())
mx = 300000
# 部分問題
ub = mx
lb = -1
while ub - lb > 1:
    k = (ub + lb) // 2
    if cntunderk(k) < n:
        lb = k
    else:
        ub = k
#print(lb)
# 本問題
y = 0
s = []
for x in range(lb, -1, -1):
    while True:
        if 2 * y * y < (lb - x) * (lb - x):
            y += 1
            continue
        break
    assert 2 * y * y >= (lb - x) * (lb - x)
    if 2 * y * y < (lb + 1 - x) * (lb + 1 - x):
        s.append((x, y))
s.sort(key = cmp_to_key(cmp))
n -= cntunderk(lb)
assert n >= 1
assert n <= len(s)
print(*s[n-1])
הההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההה
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