#898638 (C++17) No.2405 Minimal Matrix Decomposition

提出ソース

結果

問題	No.2405 Minimal Matrix Decomposition
ユーザー	ecottea
提出日時	2023-08-04 22:36:45
言語	C++17 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果	AC
実行時間	777 ms / 2,000 ms
コード長	14,459 bytes
コンパイル時間	4,571 ms
コンパイル使用メモリ	277,132 KB
実行使用メモリ	8,320 KB
最終ジャッジ日時	2024-10-14 20:38:12
合計ジャッジ時間	14,466 ms
ジャッジサーバーID （参考情報）	judge4 / judge2

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テストケース

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入力	結果	実行時間実行使用メモリ
testcase_00	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_01	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_02	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_03	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_04	AC	463 ms 8,192 KB
testcase_05	AC	777 ms 8,320 KB
testcase_06	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_07	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_08	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_09	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_10	AC	209 ms 6,656 KB
testcase_11	AC	563 ms 7,424 KB
testcase_12	AC	4 ms 5,248 KB
testcase_13	AC	146 ms 5,504 KB
testcase_14	AC	53 ms 5,248 KB
testcase_15	AC	164 ms 5,888 KB
testcase_16	AC	74 ms 5,248 KB
testcase_17	AC	186 ms 5,248 KB
testcase_18	AC	74 ms 5,248 KB
testcase_19	AC	74 ms 5,760 KB
testcase_20	AC	83 ms 5,248 KB
testcase_21	AC	35 ms 5,248 KB
testcase_22	AC	443 ms 7,040 KB
testcase_23	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_24	AC	109 ms 5,376 KB
testcase_25	AC	11 ms 5,248 KB
testcase_26	AC	152 ms 5,760 KB
testcase_27	AC	73 ms 5,248 KB
testcase_28	AC	147 ms 6,016 KB
testcase_29	AC	37 ms 5,504 KB
testcase_30	AC	167 ms 6,144 KB
testcase_31	AC	51 ms 5,248 KB
testcase_32	AC	159 ms 5,760 KB
testcase_33	AC	270 ms 6,016 KB
testcase_34	AC	37 ms 5,248 KB
testcase_35	AC	2 ms 5,248 KB
testcase_36	AC	172 ms 5,760 KB
testcase_37	AC	136 ms 5,248 KB
testcase_38	AC	106 ms 5,632 KB
testcase_39	AC	176 ms 6,016 KB
testcase_40	AC	276 ms 6,820 KB
testcase_41	AC	15 ms 5,248 KB
testcase_42	AC	357 ms 6,400 KB
testcase_43	AC	127 ms 5,248 KB
testcase_44	AC	30 ms 5,248 KB
testcase_45	AC	9 ms 5,248 KB
testcase_46	AC	29 ms 5,248 KB
testcase_47	AC	41 ms 5,248 KB
testcase_48	AC	23 ms 5,248 KB
testcase_49	AC	52 ms 5,248 KB

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ソースコード

raw source code

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;	using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;	using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620;
double EPS = 1e-15;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif

//using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
using mint = modint; // mint::set_mod(m);

namespace atcoder {
	inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
	inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>;
#endif


#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif


//【行列】
/*
* Matrix<T>(int n, int m) : O(n m)
*	n×m 零行列で初期化する．
*
* Matrix<T>(int n) : O(n^2)
*	n×n 単位行列で初期化する．
*
* Matrix<T>(vvT a) : O(n m)
*	二次元配列 a[0..n)[0..m) の要素で初期化する．
*
* bool empty() : O(1)
*	行列が空かを返す．
*
* A + B : O(n m)
*	n×m 行列 A, B の和を返す．+= も使用可．
*
* A - B : O(n m)
*	n×m 行列 A, B の差を返す．-= も使用可．
*
* c * A ／ A * c : O(n m)
*	n×m 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す．*= も使用可．
*
* A * x : O(n m)
*	n×m 行列 A と n 次元列ベクトル x の積を返す．
*
* x * A : O(n m)
*	m 次元行ベクトル x と n×m 行列 A の積を返す．
*
* A * B : O(n m l)
*	n×m 行列 A と m×l 行列 B の積を返す．
*
* Mat pow(ll d) : O(n^3 log d)
*	自身を d 乗した行列を返す．
*/
template <class T>
struct Matrix {
	int n, m; // 行列のサイズ（n 行 m 列）
	vector<vector<T>> v; // 行列の成分

	// n×m 零行列で初期化する．
	Matrix(int n, int m) : n(n), m(m), v(n, vector<T>(m)) {}

	// n×n 単位行列で初期化する．
	Matrix(int n) : n(n), m(n), v(n, vector<T>(n)) { rep(i, n) v[i][i] = T(1); }

	// 二次元配列 a[0..n)[0..m) の要素で初期化する．
	Matrix(const vector<vector<T>>& a) : n(sz(a)), m(sz(a[0])), v(a) {}
	Matrix() : n(0), m(0) {}

	// 代入
	Matrix(const Matrix&) = default;
	Matrix& operator=(const Matrix&) = default;

	// アクセス
	inline vector<T> const& operator[](int i) const { return v[i]; }
	inline vector<T>& operator[](int i) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product

		// inline を付けて [] でアクセスするとなぜか v[] への直接アクセスより速くなった．
		return v[i];
	}

	// 入力
	friend istream& operator>>(istream& is, Matrix& a) {
		rep(i, a.n) rep(j, a.m) is >> a.v[i][j];
		return is;
	}

	// 空か
	bool empty() const { return min(n, m) == 0; }

	// 比較
	bool operator==(const Matrix& b) const { return n == b.n && m == b.m && v == b.v; }
	bool operator!=(const Matrix& b) const { return !(*this == b); }

	// 加算，減算，スカラー倍
	Matrix& operator+=(const Matrix& b) {
		rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] += b[i][j];
		return *this;
	}
	Matrix& operator-=(const Matrix& b) {
		rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] -= b[i][j];
		return *this;
	}
	Matrix& operator*=(const T& c) {
		rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] *= c;
		return *this;
	}
	Matrix operator+(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) += b; }
	Matrix operator-(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) -= b; }
	Matrix operator*(const T& c) const { return Matrix(*this) *= c; }
	friend Matrix operator*(const T& c, const Matrix<T>& a) { return a * c; }
	Matrix operator-() const { return Matrix(*this) *= T(-1); }

	// 行列ベクトル積 : O(m n)
	vector<T> operator*(const vector<T>& x) const {
		vector<T> y(n);
		rep(i, n) rep(j, m)	y[i] += v[i][j] * x[j];
		return y;
	}

	// ベクトル行列積 : O(m n)
	friend vector<T> operator*(const vector<T>& x, const Matrix& a) {
		vector<T> y(a.m);
		rep(i, a.n) rep(j, a.m) y[j] += x[i] * a[i][j];
		return y;
	}

	// 積：O(n^3)
	Matrix operator*(const Matrix& b) const {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product

		Matrix res(n, b.m);
		rep(i, res.n) rep(j, res.m) rep(k, m) res[i][j] += v[i][k] * b[k][j];
		return res;
	}
	Matrix& operator*=(const Matrix& b) { *this = *this * b; return *this; }

	// 累乗：O(n^3 log d)
	Matrix pow(ll d) const {
		Matrix res(n), pow2 = *this;
		while (d > 0) {
			if (d & 1) res *= pow2;
			pow2 *= pow2;
			d /= 2;
		}
		return res;
	}

#ifdef _MSC_VER
	friend ostream& operator<<(ostream& os, const Matrix& a) {
		rep(i, a.n) {
			os << "[";
			rep(j, a.m) os << a[i][j] << " ]"[j == a.m - 1];
			if (i < a.n - 1) os << "\n";
		}
		return os;
	}
#endif
};


//【階数標準形】O(n m (n + m))
/*
* A = a[0..n)[0..m) を階数標準形 R_r := [I_r, O; O, O] に変換する行列，すなわち
*		P A Q = R_r （r = rank A）
* を満たす行列 P, Q を p[0..n)[0..n), q[0..m)[0..m) に格納し，r を返す．
*/
template <class T>
int rank_normal_form(const Matrix<T>& a, Matrix<T>& p, Matrix<T>& q) {
	int n = a.n, m = a.m;

	// 元の行列 mat と単位行列を繋げた拡大行列を作る．
	Matrix<T> v(n + m, n + m);
	rep(i, n) rep(j, m) v[i][j] = a[i][j];
	rep(i, n) rep(j, n) v[i][m + j] = (i == j ? T(1) : T(0));
	rep(i, m) rep(j, m) v[n + i][j] = (i == j ? T(1) : T(0));

	// 直前に見つけたピボットの位置
	int pi = -1, pj = -1;

	// 注目位置を (i, j)（i 行目かつ j 列目）とする．
	int i = 0, j = 0;

	// 拡大行列に対して行基本変形を行い，左側を単位行列にすることを目指す．
	while (i < n && j < m) {
		// 同じ列の下方の行から非 0 成分を見つける．
		int i2 = i;
		while (i2 < n && v[i2][j] == 0) i2++;

		// 見つからなかったら注目位置を右に移す．
		if (i2 == n) { j++; continue; }

		// 見つかったら i 行目とその行を入れ替える．
		pi = i; pj = j;
		if (i != i2) swap(v[i], v[i2]);

		// v[i][j] が 1 になるよう行全体を v[i][j] で割る．
		T vij_inv = T(1) / v[i][j];
		repi(j2, j, n + m - 1) v[i][j2] *= vij_inv;

		// v[i][j] と同じ列の成分が全て 0 になるよう i 行目を定数倍して減じる．
		rep(i2, n) {
			// i 行目だけは引かない．
			if (i2 == i) continue;

			T mul = v[i2][j];
			repi(j2, j, n + m - 1) v[i2][j2] -= v[i][j2] * mul;
		}

		// 注目位置を右下に移す．
		i++; j++;
	}

	// 直前に見つけたピボットの位置
	pi = -1; pj = -1;

	// 注目位置を (i, j)（i 行目かつ j 列目）とする．
	i = 0; j = 0;

	// 続けて拡大行列に対して列基本変形を行い，上側を単位行列にすることを目指す．
	while (i < n && j < m) {
		// 同じ行の右方の列から非 0 成分を見つける．
		int j2 = j;
		while (j2 < m && v[i][j2] == 0) j2++;

		// 見つからなかったら注目位置を下に移す．
		if (j2 == m) { i++; continue; }

		// 見つかったら j 列目とその列を入れ替える．
		pi = i; pj = j;
		if (j != j2) rep(i2, n + m) swap(v[i2][j], v[i2][j2]);

		// v[i][j] が 1 になるよう列全体を v[i][j] で割る．
		T div = T(1) / v[i][j];
		repi(i2, i, n + m - 1) v[i2][j] *= div;

		// v[i][j] と同じ行の成分が全て 0 になるよう j 列目を定数倍して減じる．
		rep(j2, m) {
			// j 列目だけは引かない．
			if (j2 == j) continue;

			T mul = v[i][j2];
			repi(i2, 0, n + m - 1) v[i2][j2] -= v[i2][i] * mul;
		}

		// 注目位置を右下に移す．
		i++; j++;
	}

	// 拡大行列の右側が P, 下側が Q なのでコピーする．
	p = Matrix<T>(n, n); q = Matrix<T>(m, m);
	rep(i, n) rep(j, n) p[i][j] = v[i][m + j];
	rep(i, m) rep(j, m) q[i][j] = v[n + i][j];

	return pi + 1;
}


//【逆行列】O(n^3)
/*
* n 次正方行列 mat の逆行列を返す（存在しなければ空）
*/
template <class T>
Matrix<T> inverse_matrix(const Matrix<T>& mat) {
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/inverse_matrix

	int n = mat.n;

	// 元の行列 mat と単位行列を繋げた拡大行列 v を作る．
	vector<vector<T>> v(n, vector<T>(2 * n));
	rep(i, n) rep(j, n) {
		v[i][j] = mat[i][j];
		if (i == j) v[i][n + j] = 1;
	}
	int m = 2 * n;

	// 注目位置を (i, j)（i 行目かつ j 列目）とする．
	int i = 0, j = 0;

	// 拡大行列に対して行基本変形を行い，左側を単位行列にすることを目指す．
	while (i < n && j < m) {
		// 同じ列の下方の行から非 0 成分を見つける．
		int i2 = i;
		while (i2 < n && v[i2][j] == T(0)) i2++;

		// 見つからなかったら全て 0 の列があったので mat は非正則
		if (i2 == n) return Matrix<T>();

		// 見つかったら i 行目とその行を入れ替える．
		if (i != i2) swap(v[i], v[i2]);

		// v[i][j] が 1 になるよう行全体を v[i][j] で割る．
		T vij_inv = T(1) / v[i][j];
		repi(j2, j, m - 1) v[i][j2] *= vij_inv;

		// v[i][j] と同じ列の成分が全て 0 になるよう i 行目を定数倍して減じる．
		rep(i2, n) {
			// i 行目だけは引かない．
			if (i2 == i) continue;

			T mul = v[i2][j];
			repi(j2, j, m - 1) v[i2][j2] -= v[i][j2] * mul;
		}

		// 注目位置を右下に移す．
		i++; j++;
	}

	// 拡大行列の右半分が mat の逆行列なのでコピーする．
	Matrix<T> mat_inv(n, n);
	rep(i, n) rep(j, n) mat_inv[i][j] = v[i][n + j];

	return mat_inv;
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	int P;
	cin >> P;

	mint::set_mod(P);

	int h, w;
	cin >> h >> w;

	Matrix<mint> a(h, w);
	cin >> a;

	// P A Q = R_r （r = rank A）  R_r := [I_r, O; O, O]
	Matrix<mint> p, q;
	int r = rank_normal_form(a, p, q);
	bool r_is_zero = false;
	if (r == 0) {
		r = 1;
		r_is_zero = true;
	}
	dump(r);

	if (h * w <= h * r + r * w) {
		cout << 1 << endl;

		cout << h << " " << w << endl;
		rep(i, h) rep(j, w) cout << a[i][j] << " \n"[j == w - 1];
		return 0;
	}

	auto p_inv = inverse_matrix(p);
	auto q_inv = inverse_matrix(q);
	if (r_is_zero) {
		p_inv = Matrix<mint>(h, h);
		q_inv = Matrix<mint>(w, w);
	}

	cout << 2 << endl;

	cout << h << " " << r << endl;
	rep(i, h) rep(j, r) cout << p_inv[i][j] << " \n"[j == r - 1];

	cout << r << " " << w << endl;
	rep(i, r) rep(j, w) cout << q_inv[i][j] << " \n"[j == w - 1];
}

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結果

テストケース

ソースコード