結果
| 問題 | No.2459 Stampaholic (Hard) |
| ユーザー |
 ecottea
|
| 提出日時 | 2023-09-02 04:49:26 |
| 言語 | C++17 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0) |
| 結果 |
AC
|
| 実行時間 | 800 ms / 4,000 ms |
| コード長 | 26,948 bytes |
| コンパイル時間 | 5,773 ms |
| コンパイル使用メモリ | 294,960 KB |
| 実行使用メモリ | 43,224 KB |
| 最終ジャッジ日時 | 2024-06-11 11:49:20 |
| 合計ジャッジ時間 | 15,396 ms |
|
ジャッジサーバーID （参考情報） |
judge1 / judge4 |
（要ログイン）
テストケース
テストケース表示| 入力 | 結果 | 実行時間 実行使用メモリ |
|---|---|---|
| testcase_00 | AC | 2 ms
5,248 KB |
| testcase_01 | AC | 797 ms
43,216 KB |
| testcase_02 | AC | 177 ms
11,640 KB |
| testcase_03 | AC | 2 ms
5,376 KB |
| testcase_04 | AC | 1 ms
5,376 KB |
| testcase_05 | AC | 2 ms
5,376 KB |
| testcase_06 | AC | 2 ms
5,376 KB |
| testcase_07 | AC | 2 ms
5,376 KB |
| testcase_08 | AC | 365 ms
19,404 KB |
| testcase_09 | AC | 184 ms
11,472 KB |
| testcase_10 | AC | 769 ms
39,224 KB |
| testcase_11 | AC | 384 ms
22,672 KB |
| testcase_12 | AC | 787 ms
42,812 KB |
| testcase_13 | AC | 788 ms
38,956 KB |
| testcase_14 | AC | 189 ms
13,360 KB |
| testcase_15 | AC | 798 ms
43,220 KB |
| testcase_16 | AC | 798 ms
43,220 KB |
| testcase_17 | AC | 789 ms
43,216 KB |
| testcase_18 | AC | 800 ms
43,220 KB |
| testcase_19 | AC | 792 ms
43,224 KB |
| testcase_20 | AC | 2 ms
5,376 KB |
| testcase_21 | AC | 743 ms
36,216 KB |
ソースコード
#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用
// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>; using pll = pair<ll, ll>; using pil = pair<int, ll>; using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>; using vvi = vector<vi>; using vvvi = vector<vvi>; using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>; using vvl = vector<vl>; using vvvl = vector<vvl>; using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>; using vvb = vector<vb>; using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>; using vvc = vector<vc>; using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>; using vvd = vector<vd>; using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;
// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620;
double EPS = 1e-15;
// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;
// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定
// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }
// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }
#endif // 折りたたみ用
#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;
#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif
//using mint = modint1000000007;
using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(mod);
//using mint = static_modint<924844033>;
namespace atcoder {
inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>;
#endif
#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif
mint easy(ll h, ll w, int n, ll k) {
if (h > w) swap(h, w);
mint dnm = (mint(h - k + 1) * (w - k + 1)).inv();
// dump(dnm);
mint res = 0;
if (h >= 2 * k) {
if (w >= 2 * k) {
ll len = (h - 2 * k) * 2 + (w - 2 * k) * 2;
repi(i, 1, k) {
res += (1 - (1 - i * k * dnm).pow(n)) * len;
}
res += (1 - (1 - k * k * dnm).pow(n)) * (h - 2 * k) * (w - 2 * k);
h = 2 * k;
w = 2 * k;
}
}
else {
if (w >= 2 * k) {
rep(i, h) {
ll u = max<ll>(0, i - k + 1);
ll d = min<ll>(i, h - k);
res += (1 - (1 - (d - u + 1) * k * dnm).pow(n)) * (w - 2 * k);
}
w = 2 * k;
}
}
// dump(h, w, res);
rep(i, h) rep(j, w) {
ll u = max<ll>(0, i - k + 1);
ll d = min<ll>(i, h - k);
ll l = max<ll>(0, j - k + 1);
ll r = min<ll>(j, w - k);
// dump(i, j, ":", u, d, l, r);
res += (1 - (1 - (d - u + 1) * (r - l + 1) * dnm).pow(n));
}
return res;
}
//【形式的冪級数】
/*
* MFPS() : O(1)
* 零多項式 f = 0 で初期化する．
*
* MFPS(mint c0) : O(1)
* 定数多項式 f = c0 で初期化する．
*
* MFPS(mint c0, int n) : O(n)
* n 次未満の項をもつ定数多項式 f = c0 で初期化する．
*
* MFPS(vm c) : O(n)
* f(z) = c[0] + c[1] z + ... + c[n - 1] z^(n-1) で初期化する．
*
* set_conv(vm(*CONV)(const vm&, const vm&)) : O(1)
* 畳込み用の関数を CONV に設定する．
*
* c + f, f + c : O(1) f + g : O(n)
* f - c : O(1) c - f, f - g, -f : O(n)
* c * f, f * c : O(n) f * g : O(n log n) f * g_sp : O(n k)（k : g の項数）
* f / c : O(n) f / g : O(n log n) f / g_sp : O(n k)（k : g の項数）
* 形式的冪級数としての和，差，積，商の結果を返す．
* g_sp はスパース多項式であり，{次数, 係数} の次数昇順の組の vector で表す．
* 制約 : 商では g(0) != 0
*
* MFPS f.inv(int d) : O(n log n)
* 1 / f mod z^d を返す．
* 制約 : f(0) != 0
*
* MFPS f.quotient(MFPS g) : O(n log n)
* MFPS f.reminder(MFPS g) : O(n log n)
* pair<MFPS, MFPS> f.quotient_remainder(MFPS g) : O(n log n)
* 多項式としての f を g で割った商，余り，商と余りの組を返す．
* 制約 : g の最高次の係数は 0 でない
*
* int f.deg(), int f.size() : O(1)
* 多項式 f の次数[項数]を返す．
*
* MFPS::monomial(int d, mint c = 1) : O(d)
* 単項式 c z^d を返す．
*
* mint f.assign(mint c) : O(n)
* 多項式 f の不定元 z に c を代入した値を返す．
*
* f.resize(int d) : O(1)
* mod z^d をとる．
*
* f.resize() : O(n)
* 不要な高次の項を削る．
*
* f >> d, f << d : O(n)
* 係数列を d だけ右[左]シフトした多項式を返す．
* （右シフトは z^d の乗算，左シフトは z^d で割った商と等価）
*/
struct MFPS {
using SMFPS = vector<pair<int, mint>>;
int n; // 係数の個数（次数 + 1）
vm c; // 係数列
inline static vm(*CONV)(const vm&, const vm&) = convolution; // 畳込み用の関数
// コンストラクタ（0，定数，係数列で初期化）
MFPS() : n(0) {}
MFPS(mint c0) : n(1), c({ c0 }) {}
MFPS(int c0) : n(1), c({ mint(c0) }) {}
MFPS(mint c0, int d) : n(d), c(n) { c[0] = c0; }
MFPS(int c0, int d) : n(d), c(n) { c[0] = c0; }
MFPS(const vm& c_) : n(sz(c_)), c(c_) {}
MFPS(const vi& c_) : n(sz(c_)), c(n) { rep(i, n) c[i] = c_[i]; }
// 代入
MFPS(const MFPS& f) = default;
MFPS& operator=(const MFPS& f) = default;
MFPS& operator=(const mint& c0) { n = 1; c = { c0 }; return *this; }
// 比較
bool operator==(const MFPS& g) const { return c == g.c; }
bool operator!=(const MFPS& g) const { return c != g.c; }
// アクセス
inline mint const& operator[](int i) const { return c[i]; }
inline mint& operator[](int i) { return c[i]; }
// 次数
int deg() const { return n - 1; }
int size() const { return n; }
static void set_conv(vm(*CONV_)(const vm&, const vm&)) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/tdpc/tasks/tdpc_fibonacci
CONV = CONV_;
}
// 加算
MFPS& operator+=(const MFPS& g) {
if (n >= g.n) rep(i, g.n) c[i] += g.c[i];
else {
rep(i, n) c[i] += g.c[i];
repi(i, n, g.n - 1) c.push_back(g.c[i]);
n = g.n;
}
return *this;
}
MFPS operator+(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) += g; }
// 定数加算
MFPS& operator+=(const mint& sc) {
if (n == 0) { n = 1; c = { sc }; }
else { c[0] += sc; }
return *this;
}
MFPS operator+(const mint& sc) const { return MFPS(*this) += sc; }
friend MFPS operator+(const mint& sc, const MFPS& f) { return f + sc; }
MFPS& operator+=(const int& sc) { *this += mint(sc); return *this; }
MFPS operator+(const int& sc) const { return MFPS(*this) += sc; }
friend MFPS operator+(const int& sc, const MFPS& f) { return f + sc; }
// 減算
MFPS& operator-=(const MFPS& g) {
if (n >= g.n) rep(i, g.n) c[i] -= g.c[i];
else {
rep(i, n) c[i] -= g.c[i];
repi(i, n, g.n - 1) c.push_back(-g.c[i]);
n = g.n;
}
return *this;
}
MFPS operator-(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) -= g; }
// 定数減算
MFPS& operator-=(const mint& sc) { *this += -sc; return *this; }
MFPS operator-(const mint& sc) const { return MFPS(*this) -= sc; }
friend MFPS operator-(const mint& sc, const MFPS& f) { return -(f - sc); }
MFPS& operator-=(const int& sc) { *this += -sc; return *this; }
MFPS operator-(const int& sc) const { return MFPS(*this) -= sc; }
friend MFPS operator-(const int& sc, const MFPS& f) { return -(f - sc); }
// 加法逆元
MFPS operator-() const { return MFPS(*this) *= -1; }
// 定数倍
MFPS& operator*=(const mint& sc) { rep(i, n) c[i] *= sc; return *this; }
MFPS operator*(const mint& sc) const { return MFPS(*this) *= sc; }
friend MFPS operator*(const mint& sc, const MFPS& f) { return f * sc; }
MFPS& operator*=(const int& sc) { *this *= mint(sc); return *this; }
MFPS operator*(const int& sc) const { return MFPS(*this) *= sc; }
friend MFPS operator*(const int& sc, const MFPS& f) { return f * sc; }
// 右からの定数除算
MFPS& operator/=(const mint& sc) { *this *= sc.inv(); return *this; }
MFPS operator/(const mint& sc) const { return MFPS(*this) /= sc; }
MFPS& operator/=(const int& sc) { *this /= mint(sc); return *this; }
MFPS operator/(const int& sc) const { return MFPS(*this) /= sc; }
// 積
MFPS& operator*=(const MFPS& g) { c = CONV(c, g.c); n = sz(c); return *this; }
MFPS operator*(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) *= g; }
// 除算
MFPS inv(int d) const {
// 参考：https://nyaannyaan.github.io/library/fps/formal-power-series.hpp
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/inv_of_formal_power_series
//【方法】
// 1 / f mod z^d を求めることは，
// f g = 1 (mod z^d)
// なる g を求めることである．
// この d の部分を 1, 2, 4, ..., 2^i と倍々にして求めていく．
//
// d = 1 のときについては
// g = 1 / f[0] (mod z^1)
// である．
//
// 次に，
// g = h (mod z^k)
// が求まっているとして
// g mod z^(2 k)
// を求める．最初の式を変形していくことで
// g - h = 0 (mod z^k)
// ⇒ (g - h)^2 = 0 (mod z^(2 k))
// ⇔ g^2 - 2 g h + h^2 = 0 (mod z^(2 k))
// ⇒ f g^2 - 2 f g h + f h^2 = 0 (mod z^(2 k))
// ⇔ g - 2 h + f h^2 = 0 (mod z^(2 k)) (f g = 1 (mod z^d) より)
// ⇔ g = (2 - f h) h (mod z^(2 k))
// を得る．
//
// この手順を d ≦ 2^i となる i まで繰り返し，d 次以上の項を削除すればよい．
Assert(!c.empty());
Assert(c[0] != 0);
MFPS g(c[0].inv());
for (int k = 1; k < d; k *= 2) {
int len = max(min(2 * k, d), 1);
MFPS tmp(0, len);
rep(i, min(len, n)) tmp[i] = -c[i]; // -f
tmp *= g; // -f h
tmp.resize(len);
tmp[0] += 2; // 2 - f h
g *= tmp; // (2 - f h) h
g.resize(len);
}
return g;
}
MFPS& operator/=(const MFPS& g) { return *this *= g.inv(max(n, g.n)); }
MFPS operator/(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) /= g; }
// 余り付き除算
MFPS quotient(const MFPS& g) const {
// 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/fps/formal-power-series.hpp
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials
//【方法】
// f(x) = g(x) q(x) + r(x) となる q(x) を求める．
// f の次数は n - 1, g の次数は m - 1 とする．(n >= m)
// 従って q の次数は n - m，r の次数は m - 2 となる．
//
// f^R で f の係数列を逆順にした多項式を表す．すなわち
// f^R(x) := f(1/x) x^(n-1)
// である．他の多項式も同様とする．
//
// 最初の式で x → 1/x と置き換えると，
// f(1/x) = g(1/x) q(1/x) + r(1/x)
// ⇔ f(1/x) x^(n-1) = g(1/x) q(1/x) x^(n-1) + r(1/x) x^(n-1)
// ⇔ f(1/x) x^(n-1) = g(1/x) x^(m-1) q(1/x) x^(n-m) + r(1/x) x^(m-2) x^(n-m+1)
// ⇔ f^R(x) = g^R(x) q^R(x) + r^R(x) x^(n-m+1)
// ⇒ f^R(x) = g^R(x) q^R(x) (mod x^(n-m+1))
// ⇒ q^R(x) = f^R(x) / g^R(x) (mod x^(n-m+1))
// を得る．
//
// これで q を mod x^(n-m+1) で正しく求めることができることになるが，
// q の次数は n - m であったから，q 自身を正しく求めることができた．
if (n < g.n) return MFPS();
return ((this->rev() / g.rev()).resize(n - g.n + 1)).rev();
}
MFPS reminder(const MFPS& g) const {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials
return (*this - this->quotient(g) * g).resize(g.n - 1);
}
pair<MFPS, MFPS> quotient_remainder(const MFPS& g) const {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials
pair<MFPS, MFPS> res;
res.first = this->quotient(g);
res.second = (*this - res.first * g).resize(g.n - 1);
return res;
}
// スパース積
MFPS& operator*=(const SMFPS& g) {
// g の定数項だけ例外処理
auto it0 = g.begin();
mint g0 = 0;
if (it0->first == 0) {
g0 = it0->second;
it0++;
}
// 後ろからインライン配る DP
repir(i, n - 1, 0) {
// 上位項に係数倍して配っていく．
for (auto it = it0; it != g.end(); it++) {
auto [j, gj] = *it;
if (i + j >= n) break;
c[i + j] += c[i] * gj;
}
// 定数項は最後に配るか消去しないといけない．
c[i] *= g0;
}
return *this;
}
MFPS operator*(const SMFPS& g) const { return MFPS(*this) *= g; }
// スパース商
MFPS& operator/=(const SMFPS& g) {
// g の定数項だけ例外処理
auto it0 = g.begin();
Assert(it0->first == 0 && it0->second != 0);
mint g0_inv = it0->second.inv();
it0++;
// 前からインライン配る DP（後ろに累積効果あり）
rep(i, n) {
// 定数項は最初に配らないといけない．
c[i] *= g0_inv;
// 上位項に係数倍して配っていく．
for (auto it = it0; it != g.end(); it++) {
auto [j, gj] = *it;
if (i + j >= n) break;
c[i + j] -= c[i] * gj;
}
}
return *this;
}
MFPS operator/(const SMFPS& g) const { return MFPS(*this) /= g; }
// 係数反転
MFPS rev() const { MFPS h = *this; reverse(all(h.c)); return h; }
// 単項式
static MFPS monomial(int d, mint coef = 1) {
MFPS mono(0, d + 1);
mono[d] = coef;
return mono;
}
// 不要な高次項の除去
MFPS& resize() {
// 最高次の係数が非 0 になるまで削る．
while (n > 0 && c[n - 1] == 0) {
c.pop_back();
n--;
}
return *this;
}
// x^d 以上の項を除去する．
MFPS& resize(int d) {
n = d;
c.resize(d);
return *this;
}
// 不定元への代入
mint assign(const mint& x) const {
mint val = 0;
repir(i, n - 1, 0) val = val * x + c[i];
return val;
}
// 係数のシフト
MFPS& operator>>=(int d) {
n += d;
c.insert(c.begin(), d, 0);
return *this;
}
MFPS& operator<<=(int d) {
n -= d;
if (n <= 0) { c.clear(); n = 0; }
else c.erase(c.begin(), c.begin() + d);
return *this;
}
MFPS operator>>(int d) const { return MFPS(*this) >>= d; }
MFPS operator<<(int d) const { return MFPS(*this) <<= d; }
#ifdef _MSC_VER
friend ostream& operator<<(ostream& os, const MFPS& f) {
if (f.n == 0) os << 0;
else {
rep(i, f.n) {
os << f[i].val() << "z^" << i;
if (i < f.n - 1) os << " + ";
}
}
return os;
}
#endif
};
//【階乗など（法が大きな素数）】
/*
* Factorial_mint(int N) : O(n)
* N まで計算可能として初期化する．
*
* mint fact(int n) : O(1)
* n! を返す．
*
* mint fact_inv(int n) : O(1)
* 1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
*
* mint inv(int n) : O(1)
* 1/n を返す．
*
* mint perm(int n, int r) : O(1)
* 順列の数 nPr を返す．
*
* mint bin(int n, int r) : O(1)
* 二項係数 nCr を返す．
*
* mint mul(vi rs) : O(|rs|)
* 多項係数 nC[rs] を返す．（n = Σrs）
*/
class Factorial_mint {
int n_max;
// 階乗と階乗の逆数の値を保持するテーブル
vm fac, fac_inv;
public:
// n! までの階乗とその逆数を前計算しておく．O(n)
Factorial_mint(int n) : n_max(n), fac(n + 1), fac_inv(n + 1) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b
fac[0] = 1;
repi(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i;
fac_inv[n] = fac[n].inv();
repir(i, n - 1, 0) fac_inv[i] = fac_inv[i + 1] * (i + 1);
}
Factorial_mint() : n_max(0) {} // ダミー
// n! を返す．
mint fact(int n) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b
Assert(0 <= n && n <= n_max);
return fac[n];
}
// 1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
mint fact_inv(int n) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc289/tasks/abc289_h
Assert(n <= n_max);
if (n < 0) return 0;
return fac_inv[n];
}
// 1/n を返す．
mint inv(int n) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/exawizards2019/tasks/exawizards2019_d
Assert(0 < n && n <= n_max);
return fac[n - 1] * fac_inv[n];
}
// 順列の数 nPr を返す．
mint perm(int n, int r) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc172/tasks/abc172_e
Assert(n <= n_max);
if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
return fac[n] * fac_inv[n - r];
}
// 二項係数 nCr を返す．
mint bin(int n, int r) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc034/tasks/abc034_c
Assert(n <= n_max);
if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
return fac[n] * fac_inv[r] * fac_inv[n - r];
}
// 多項係数 nC[rs] を返す．
mint mul(const vi& rs) const {
// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2141
if (*min_element(all(rs)) < 0) return 0;
int n = accumulate(all(rs), 0);
Assert(n <= n_max);
mint res = fac[n];
repe(r, rs) res *= fac_inv[r];
return res;
}
};
//【平行移動】O(n log n)
/*
* f(z + c) を返す．
*
* 制約 : fm は deg(f) までの階乗計算が可能であること．
*/
MFPS taylor_shift(const MFPS& f, mint c, const Factorial_mint& fm) {
// 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/fps/taylor-shift.hpp.html
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/polynomial_taylor_shift
//【方法】
// f(x) = Σn=[0..N] f[n] x^n
// と表されるとすると，
// f(x + c)
// = Σn=[0..N] f[n] (x + c)^n
// = Σn=[0..N] f[n] Σr=[0..n] nCr c^(n-r) x^r （二項定理）
// = Σn=[0..N] Σr=[0..n] f[n] n! / ((n-r)! r!) c^(n-r) x^r
// = Σr=[0..N] Σn=[r..N] f[n] n! / ((n-r)! r!) c^(n-r) x^r （和の順序交換）
// = Σr=[0..N] x^r / r! Σn=[r..N] (c^(n-r) / (n-r)!) n! f[n]
// = Σr=[0..N] x^r / r! Σm=[0..N-r] (c^(N-m-r) / (N-m-r)!) (N-m)! f[N-m] （m = N - n）
// = Σj=[0..N] x^(N-j) / (N-j)! Σm=[0..j] (c^(j-m) / (j-m)!) (N-m)! f[N-m] （j = N - r）
// と書き直せる．
//
// よって
// g(x) = Σn=[0..N] (c^n / n!) x^n
// h(x) = Σn=[0..N] (N-n)! f[N-n] x^n
// とおくと，
// f(x + c)
// = Σj=[0..N] x^(N-j) / (N-j)! (g*h)[j]
// = Σj=[0..N] x^j / j! (g*h)[N-j]
// と表される．
int n = f.deg() + 1;
MFPS g(1);
g.resize(n);
repi(i, 1, n - 1) g[i] = g[i - 1] * c * fm.inv(i);
MFPS h(f);
rep(i, n) h[i] *= fm.fact(i);
h = h.rev();
MFPS fs = (g * h).resize(n);
fs = fs.rev();
rep(i, n) fs[i] *= fm.fact_inv(i);
return fs;
}
// 低次数の項の無視とテイラーシフトとの噛み合いが悪い．
// (z-c)^n みたいなのを掛ければ調整はできるが，その n が大きくて困っているので本末転倒．
vm powered_sum_WA(ll n, int m, const Factorial_mint& fm) {
MFPS f(vm({ 1, 0 })), g(vm({ -1, 1 })), resf(0), resg(1);
m++;
while (n > 0) {
if (n & 1) {
resf = taylor_shift(resf, -g.deg(), fm) * g + taylor_shift(resg, -f.deg(), fm) * f;
resg = taylor_shift(resg, -g.deg(), fm) * g;
if (sz(resf) > m) {
resf <<= sz(resf) - m;
resg <<= sz(resg) - m;
}
}
f = taylor_shift(f, -g.deg(), fm) * g + taylor_shift(g, -f.deg(), fm) * f;
g = taylor_shift(g, -g.deg(), fm) * g;
if (sz(f) > m) {
f <<= sz(f) - m;
g <<= sz(g) - m;
}
n /= 2;
}
dump(resf); dump(resg);
resf = resf.rev();
resg = resg.rev();
resf.resize(m);
resg.resize(m);
auto res = (resf / resg) << 1;
res.resize(m - 1);
return res.c;
}
//【累乗（mint 利用）】
/*
* Pow_mint(T B, int n) : O(n)
* 底を B とし，B^(-n) から B^n まで計算可能として初期化する．
* 制約 : B は mint の法と互いに素
*
* mint [](int i) : O(1)
* B^i を返す．
*/
template <class T>
class Pow_mint {
int n;
vm powB, powB_inv;
public:
Pow_mint(T B, int n) : n(n) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/arc116/tasks/arc116_b
// B の累乗を計算する．
powB.resize(n + 1);
powB[0] = 1;
rep(i, n) powB[i + 1] = powB[i] * B;
// B の逆元の累乗を計算する．
mint invB = mint(1) / B;
powB_inv.resize(n + 1);
powB_inv[0] = 1;
rep(i, n) powB_inv[i + 1] = powB_inv[i] * invB;
};
Pow_mint() : n(0) {}
// B^i を返す．
mint const& operator[](int i) const {
// verify : https://atcoder.jp/contests/arc116/tasks/arc116_b
Assert(abs(i) <= n);
return i >= 0 ? powB[i] : powB_inv[-i];
}
#ifdef _MSC_VER
friend ostream& operator<<(ostream& os, const Pow_mint& pw) {
os << pw.powB << endl;
os << pw.powB_inv << endl;
return os;
}
#endif
};
//【mint → 有理数】（実験用）
/*
* x を分母と分子の絶対値が v_max 以下の有理数表示に変換する（不可能ならそのまま）
*/
string mint_to_frac(mint x, int v_max = 31595) {
// verify : https://www.codechef.com/problems/SUMOVERALL
repi(dnm, 1, v_max) {
int num = (x * dnm).val();
if (num == 0) {
return "0";
}
if (num <= v_max) {
if (dnm == 1) return to_string(num);
return to_string(num) + "/" + to_string(dnm);
}
if (mint::mod() - num <= v_max) {
if (dnm == 1) return "-" + to_string(mint::mod() - num);
return "-" + to_string(mint::mod() - num) + "/" + to_string(dnm);
}
}
return to_string(x.val());
}
//【累乗和（連続整数，次数ごと）】O(m log m)
/*
* 各 j∈[0..m) について，Σi∈[0..n) i^j を格納したリストを返す（0^0 = 1 とする）
*
* 制約：fm は m! まで計算可能
*/
vm powered_sum(ll n, int m, const Factorial_mint& fm) {
// 参考：https://maspypy.com/%e5%a4%9a%e9%a0%85%e5%bc%8f%e3%83%bb%e5%bd%a2%e5%bc%8f%e7%9a%84%e3%81%b9%e3%81%8d%e7%b4%9a%e6%95%b0-%e9%ab%98%e9%80%9f%e3%81%ab%e8%a8%88%e7%ae%97%e3%81%a7%e3%81%8d%e3%82%8b%e3%82%82%e3%81%ae#toc34
//【方法】
// 指数関数のテイラー展開の式より
// Σi∈[0..n) exp(i z)
// = Σi∈[0..n) Σ_j (i^j / j!) z^j
// = Σ_j ((Σi∈[0..n) i^j) / j!) z^j
// となるので，この係数から求める累乗和が得られる．等比数列の和の公式より
// Σi∈[0..n) exp(i z)
// = Σi∈[0..n) exp(z)^i
// = (1 - exp(n z)) / (1 - exp(z))
// として計算すれば高速に係数が得られる．
vm num(m), dnm(m); mint pow_n = n;
rep(j, m) {
num[j] = -fm.fact_inv(j + 1) * pow_n;
dnm[j] = -fm.fact_inv(j + 1);
pow_n *= n;
}
auto f = MFPS(num) / MFPS(dnm);
vm res(m);
rep(j, m) res[j] = f[j] * fm.fact(j);
return res;
}
mint solve(ll h, ll w, int n, ll k) {
ll h1 = min(h - k, k - 1);
ll h0 = h - 2 * h1;
ll w1 = min(w - k, k - 1);
ll w0 = w - 2 * w1;
dump(h1, h0, w1, w0);
Factorial_mint fm(2 * n);
auto ph = powered_sum(h1 + 1, n + 1, fm);
auto pw = powered_sum(w1 + 1, n + 1, fm);
ph[0]--; pw[0]--;
dump(ph); dump(pw);
mint dnm_inv = mint((h - k + 1) * (w - k + 1)).inv();
dump(mint_to_frac(dnm_inv));
Pow_mint nD(-dnm_inv, n);
Pow_mint nhD(-(h1 + 1) * dnm_inv, n);
Pow_mint nwD(-(w1 + 1) * dnm_inv, n);
Pow_mint nhwD(-(w1 + 1) * (h1 + 1) * dnm_inv, n);
mint res = 0;
repi(k, 0, n) res += fm.bin(n, k) * nD[k] * ph[k] * pw[k] * 4;
dump(mint_to_frac(res));
repi(k, 0, n) res += fm.bin(n, k) * nwD[k] * ph[k] * w0 * 2;
dump(mint_to_frac(res));
repi(k, 0, n) res += fm.bin(n, k) * nhD[k] * pw[k] * h0 * 2;
dump(mint_to_frac(res));
repi(k, 0, n) res += fm.bin(n, k) * nhwD[k] * h0 * w0;
dump(mint_to_frac(res));
res = h * w - res;
return res;
}
void bug_find() {
#ifdef _MSC_VER
// 合わない入力例を見つける．
mt19937_64 mt;
mt.seed((int)time(NULL));
uniform_int_distribution<ll> rnd(0LL, 1LL << 60);
mute_dump = true;
rep(hoge, 1000) {
ll h = rnd(mt) % 20 + 1;
ll w = rnd(mt) % 7 + 1;
int n = rnd(mt) % 10 + 1;
ll k = rnd(mt) % min(h, w) + 1;
auto res_naive = easy(h, w, n, k);
auto res_solve = solve(h, w, n, k);
if (res_naive != res_solve) {
cout << "----------error!----------" << endl;
cout << "input:" << endl;
cout << h << " " << w << " " << n << " " << k << endl;
cout << "results:" << endl;
cout << res_naive << endl;
cout << res_solve << endl;
cout << "--------------------------" << endl;
}
}
mute_dump = false;
exit(0);
#endif
}
int main() {
input_from_file("input.txt");
// output_to_file("output.txt");
bug_find();
ll h, w, k; int n;
cin >> h >> w >> n >> k;
dump(h, w, n, k); dump("----");
dump(easy(h, w, n, k)); dump("-----");
auto res = solve(h, w, n, k);
cout << res << endl;
}