結果

問題 No.981 一般冪乗根
ユーザー ecottea
提出日時 2023-10-12 19:38:45
言語 C++17
(gcc 13.3.0 + boost 1.87.0)
結果
AC  
実行時間 22 ms / 6,000 ms
コード長 16,237 bytes
コンパイル時間 4,020 ms
コンパイル使用メモリ 266,008 KB
最終ジャッジ日時 2025-02-17 06:52:14
ジャッジサーバーID
（参考情報） 		judge2 / judge4
このコードへのチャレンジ
（要ログイン）
ファイルパターン 結果
other AC * 30 WA * 14
権限があれば一括ダウンロードができます

ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;	using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;	using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620;
double EPS = 1e-15;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif

//using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
using mint = modint; // mint::set_mod(m);

namespace atcoder {
	inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
	inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>;
#endif


#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
inline int msb(__int128 n) { return (n >> 64) != 0 ? (127 - __builtin_clzll((ll)(n >> 64))) : n != 0 ? (63 - __builtin_clzll((ll)(n))) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif


//【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
/*
* 有限体 F_p 上ので様々な計算を行う．
* mll::set_mod(ll p) はあらゆる場所で使う法を書き換えてしまうので注意．
*
* 制約 : p は素数，コンパイラが gcc
*/
struct mll {
	__int128 v;
	inline static __int128 MOD;

	// コンストラクタ
	mll() noexcept : v(0) {}
	mll(const mll& a) = default;
	mll(const int& a) noexcept : v(a% MOD) { if (v < 0) v += MOD; }
	mll(const ll& a) noexcept : v(a% MOD) { if (v < 0) v += MOD; }

	// 代入
	mll& operator=(const mll& a) = default;
	mll& operator=(const int& a) { v = a % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; }
	mll& operator=(const ll& a) { v = a % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; }

	// 入出力
	friend istream& operator>>(istream& is, mll& x) {
		ll tmp; is >> tmp; x.v = tmp % MOD; if (x.v < 0) x.v += MOD; return is;
	}
	friend ostream& operator<<(ostream& os, const mll& x) { os << (ll)x.v; return os; }

	// 比較
	bool operator==(const mll& b) const { return v == b.v; }
	bool operator==(const int& b) const { return (b - v) % MOD == 0; }
	bool operator==(const ll& b) const { return (b - v) % MOD == 0; }
	friend bool operator==(const int& a, const mll& b) { return b == a; }
	friend bool operator==(const ll& a, const mll& b) { return b == a; }
	bool operator!=(const mll& b) const { return v != b.v; }
	bool operator!=(int b) const { return !(*this == b); }
	bool operator!=(ll b) const { return !(*this == b); }
	friend bool operator!=(int a, const mll& b) { return b != a; }
	friend bool operator!=(ll a, const mll& b) { return b != a; }

	// 単項演算
	mll operator-() const { mll a; if (v > 0) a.v = MOD - v; return a; }
	mll& operator++() { v++; if (v == MOD) v = 0; return *this; }
	mll operator++(int) { mll tmp = *this; ++(*this); return tmp; }
	mll& operator--() { v--; if (v == -1) v = MOD - 1; return *this; }
	mll operator--(int) { mll tmp = *this; --(*this); return tmp; }

	// 二項演算
	mll& operator+=(const mll& b) { v += b.v; if (v >= MOD) v -= MOD; return *this; }
	mll& operator-=(const mll& b) { v -= b.v; if (v < 0) v += MOD; return *this; }
	mll& operator*=(const mll& b) { v = (v * b.v) % MOD; return *this; }
	mll& operator/=(const mll& b) { *this *= b.inv(); return *this; }
	mll operator+(const mll& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const mll& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const mll& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const mll& b) const { mll a = *this; return a /= b; }

	// int との演算
	mll& operator+=(const int& b) { v = (v + b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; }
	mll& operator-=(const int& b) { v = (v - b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; }
	mll& operator*=(const int& b) { v = (v * b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; }
	mll& operator/=(const int& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; }
	mll operator+(const int& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const int& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const int& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const int& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
	friend mll operator+(const int& a, const mll& b) { return b + a; }
	friend mll operator-(const int& a, const mll& b) { return -(b - a); }
	friend mll operator*(const int& a, const mll& b) { return b * a; }
	friend mll operator/(const int& a, const mll& b) { return b.inv() * a; }

	// ll との演算
	mll& operator+=(const ll& b) { v = (v + b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; }
	mll& operator-=(const ll& b) { v = (v - b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; }
	mll& operator*=(const ll& b) { v = (v * b) % MOD; if (v < 0) v += MOD; return *this; }
	mll& operator/=(const ll& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; }
	mll operator+(const ll& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const ll& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const ll& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const ll& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
	friend mll operator+(const ll& a, const mll& b) { return b + a; }
	friend mll operator-(const ll& a, const mll& b) { return -(b - a); }
	friend mll operator*(const ll& a, const mll& b) { return b * a; }
	friend mll operator/(const ll& a, const mll& b) { return b.inv() * a; }

	// 累乗
	mll pow(ll d) const {
		mll res(1), pow2 = *this;
		while (d > 0) {
			if (d & 1) res *= pow2;
			pow2 *= pow2;
			d >>= 1;
		}
		return res;
	}

	// 逆元
	mll inv() const { Assert(v != 0); return pow(MOD - 2); }

	// 法の設定，確認
	static void set_mod(ll MOD_) { Assert(MOD_ > 0); MOD = MOD_; }
	static ll mod() { return (ll)MOD; }

	// 値の確認
	ll val() const { return (ll)v; }
};


//【素数判定】O((log n)^3)
/*
* n が素数かを返す．
*
* 利用：【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
*/
bool miller_rabin(ll n) {
	// 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/prime/fast-factorize.hpp.html
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/primality_test

	//【方法】
	// p を奇素数とすると，任意の a∈[1..p) についてフェルマーの小定理より
	//		a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
	// となる．これの平方根を考えていくと，
	//		p-1 = 2^s d　（d : 奇数）
	// と表せば，
	//		a^d ≡ 1 (mod p) or ∃r=[0..s), a^(2^r d) ≡ -1 (mod p)
	// と書き直せる．
	// 
	// この対偶を用いて判定することをランダムに選んだ a で繰り返す．
	// n < 2^64 に範囲を限定するなら擬素数を生じない a を固定的に選べる．

	const vl as = { 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022 };

	if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 13 || n == 19 || n == 73 || n == 193
		|| n == 407521 || n == 299210837) return true;
	if (n == 1 || n % 2 == 0) return false;

	mll::set_mod(n);
	int s = 0; ll d = n - 1;
	while (d % 2 == 0) {
		s++;
		d /= 2;
	}

	repe(a, as) {
		mll powa = mll(a).pow(d);
		if (powa == 1 || powa == -1) goto LOOP_END;
		rep(r, s - 1) {
			powa *= powa;
			if (powa == 1) return false;
			if (powa == -1) goto LOOP_END;
		}
		return false;

	LOOP_END:;
	}

	return true;
}


//【約数検出】O(n^(1/4))
/*
* n の真の約数を何か 1 つ返す（なければ n を返す）
*
* 利用：【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
*/
template <class T = ll>
T pollard_rho(T n) {
	// 参考 : https://qiita.com/Kiri8128/items/eca965fe86ea5f4cbb98
	// verify : https://algo-method.com/tasks/553

	//【方法】
	// 適当な定数 c をとり関数 f : Z/nZ → Z/nZ を
	//		f(x) = x^2 + c
	// と定める．
	//
	// 適当な初期値 x[0] = y[0] (= 2) から始め，Z/nZ 上の数列を漸化式
	//		x[i+1] = f(x[i]), y[i+1] = f(f(y[i]))
	// で定める．フロイドの循環検出法より，もし
	//		gcd(x[i] - y[i], n) = g ∈ [2..n-1]
	// であれば，これは f が Z/gZ（g は n の真の約数）で巡回したことを意味する．
	//
	// 実際には，
	//		x は r = (2 冪) 個ずつ進める（定数 1/2 倍）
	//		gcd の計算を m = n^(1/8) 程度個まとめて行う（gcd の log を落とす）
	// ことにより高速化を図る．

	if (!(n & 1)) return 2;

	int m = 1 << (msb(n) / 8);
	mll::set_mod(n); // n は合成数だが割り算は使わないので問題ない

	const int c_max = 99; // c を最大どこまで試すか
	repi(c, 1, c_max) {
		auto f = [&](mll x) { return x * x + c; };

		mll x, y = 2, y_bak;
		T g = 1;
		int r = 1;

		// g = 1 である間は巡回未検出
		while (g == 1) {
			// x, y を r = 2^i だけ一気に進める．
			x = y;
			rep(hoge, r) y = f(y);

			// 次の r = 2^i 個をまとめて見る．
			for (int k = 0; k < r; k += m) {
				// 一気に掛けすぎて g = n となってしまった場合の復元用
				y_bak = y;

				// m 個ごとにまとめて見る．
				mll mul = 1;
				rep(i, min(m, r - k)) {
					y = f(y);

					// 複数個掛けておき，後でまとめて gcd を計算する．
					//（フロイドの循環検出法とは違い x を固定しているが，
					// 巡回は検出できるので問題ない．）
					mul *= x - y;
				}
				g = (T)gcd(mul.val(), (ll)n);

				// g != 1 なら巡回を検出できたので次の処理へ
				if (g != 1) goto LOOP_END;
			}

			r *= 2;
		}

	LOOP_END:;
		// 一気に掛けすぎて g = n となってしまった（であろう）場合
		if (g == n) {
			// 復元用に残しておいた x, y_bak から再スタート
			g = 1;
			while (g == 1) {
				y_bak = f(y_bak);
				g = (T)gcd((x - y_bak).val(), (ll)n);
			}
		}

		// g < n なら g が n の真の約数なのでそれを返す．
		if (g < n) return g;

		// 本当に g = n ならたまたま真の約数が全て同時検出されてしまったので，
		// 関数 f における定数項 c の値を別のものに取り替えて再挑戦．
	}

	// 複数個の c を試してなお失敗したなら諦める．
	return n;
}


//【素因数分解】O(n^(1/4))
/*
* n を素因数分解した結果を pps に格納し pps を返す．
* pps[p] = d : n に素因数 p が d 個含まれていることを表す．
*
* 利用：【素数判定】,【約数検出】
*/
template <class T = ll>
map<T, int> factor_integer(T n) {
	// verify : https://algo-method.com/tasks/553

	map<T, int> pps;
	if (n == 1) return map<T, int>();

	// 検出した約数を記録しておくキュー
	queue<T> divs;
	divs.push(n);

	while (!divs.empty()) {
		T d = divs.front();
		divs.pop();

		// 約数が素数なら素因数発見
		if (miller_rabin(d)) {
			pps[d]++;
		}
		// 約数が合成数なら新たな約数を 2 つ発見する
		else {
			T d1 = pollard_rho<T>(d);
			T d2 = d / d1;
			divs.push(d1);
			divs.push(d2);
		}
	}

	return pps;
}


//【累乗根】
/*
* x^k ≡ a (mod p) の解 x の 1 つを返す．（なければ -1
* 
* 制約 : p = mint::mod() は素数
* 
* 利用：【素因数分解】
*/
int power_root(int k, const mint& a) {
	if (a == 0) return 0;
	
	int p = mint::mod();
		
	if (p == 2) return a.val();

	int g = gcd(k, p - 1);

	if (a.pow((p - 1) / g) != 1) return -1;

	auto pps = factor_integer(g);

	int k2 = (int)inv_mod(k / g, (p - 1) / g);

	mt19937_64 mt((int)time(NULL));
	uniform_int_distribution<ll> rnd(2, p - 1);

	mint c = a.pow(k2);

	// q^e | gcd(k, p-1)
	for (auto [q, e] : pps) {
		// p-1 = s q^t
		int s = p - 1, t = 0;
		while (s % q == 0) {
			s /= q;
			t++;
		}

		mint v;
		while (true) {
			v = rnd(mt);
			if (v.pow((p - 1) / q) != 1) break;
		}

		int qe = (int)pow(q, e);
		int u = qe - (int)inv_mod(s, qe);

		mint z = c.pow(((ll)s * u + 1) / qe);
		mint c_inv = c.inv();

		repir(i, t - 1 - e, 0) {
			mint z2 = v.pow(s * pow(q, t - 1 - e - i));
			while ((c_inv * z.pow(qe)).pow(pow(q, i)) != 1) z *= z2; // まだ遅い
		}

		c = z;
	}

	return c.val();
}


int main() {
	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	int t;
	cin >> t;

	rep(hoge, t) {
		int k, y, p;
//		cin >> k >> y >> p;
		cin >> p >> k >> y;

		mint::set_mod(p);

		int res = power_root(k, y);

		cout << res << endl;
	}
}
0