結果
| 問題 | No.2579 Dice Sum Infinity (制約変更版) |
| ユーザー |
 ecottea
|
| 提出日時 | 2023-12-07 20:26:45 |
| 言語 | C++17 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0) |
| 結果 |
TLE
|
| 実行時間 | - |
| コード長 | 29,657 bytes |
| コンパイル時間 | 5,799 ms |
| コンパイル使用メモリ | 311,952 KB |
| 実行使用メモリ | 10,628 KB |
| 最終ジャッジ日時 | 2024-09-27 02:20:40 |
| 合計ジャッジ時間 | 13,221 ms |
|
ジャッジサーバーID （参考情報） |
judge3 / judge5 |
（要ログイン）
テストケース
テストケース表示| 入力 | 結果 | 実行時間 実行使用メモリ |
|---|---|---|
| testcase_00 | AC | 2 ms
6,816 KB |
| testcase_01 | AC | 2 ms
6,820 KB |
| testcase_02 | TLE | - |
| testcase_03 | -- | - |
| testcase_04 | -- | - |
| testcase_05 | -- | - |
| testcase_06 | -- | - |
| testcase_07 | -- | - |
| testcase_08 | -- | - |
ソースコード
#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用
// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 型名の短縮
using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>; using pll = pair<ll, ll>; using pil = pair<int, ll>; using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>; using vvi = vector<vi>; using vvvi = vector<vvi>; using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>; using vvl = vector<vl>; using vvvl = vector<vvl>; using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>; using vvb = vector<vb>; using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>; using vvc = vector<vc>; using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>; using vvd = vector<vd>; using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;
// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620;
// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;
// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define YES(b) {cout << ((b) ? "YES\n" : "NO\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i >= 0; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 矩形内判定
// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }
// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }
#endif // 折りたたみ用
#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;
#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif
//using mint = modint1000000007;
using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);
string mint_to_frac(mint x, int v_max = 31595) {
repi(dnm, 1, v_max) {
int num = (x * dnm).val();
if (num == 0) {
return "0";
}
if (num <= v_max) {
if (dnm == 1) return to_string(num);
return to_string(num) + "/" + to_string(dnm);
}
if (mint::mod() - num <= v_max) {
if (dnm == 1) return "-" + to_string(mint::mod() - num);
return "-" + to_string(mint::mod() - num) + "/" + to_string(dnm);
}
}
return to_string(x.val());
}
namespace atcoder {
inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
#ifdef _MSC_VER
inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << mint_to_frac(x); return os; }
#else
inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
#endif
}
//namespace atcoder {
// inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
// inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
//}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>;
#endif
#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif
//【行列】
/*
* Matrix<T>(int m, int n) : O(m n)
* m * n 零行列で初期化する．
*
* Matrix<T>(int n) : O(n^2)
* n * n 単位行列で初期化する．
*
* Matrix<T>(vvT a) : O(m n)
* 配列 a の要素で初期化する．
*
* bool empty() : O(1)
* 行列が空かを返す．
*
* A + B : O(m n)
* m * n 行列 A, B の和を返す．+= も使用可．
*
* A - B : O(m n)
* m * n 行列 A, B の差を返す．-= も使用可．
*
* c * A ／ A * c : O(m n)
* m * n 行列 A とスカラー c のスカラー積を返す．*= も使用可．
*
* A * x : O(m n)
* m * n 行列 A と n 次元列ベクトル x の積を返す．
*
* x * A : O(m n)
* m 次元行ベクトル x と m * n 行列 A の積を返す．
*
* A * B : O(l m n)
* l * m 行列 A と m * n 行列 B の積を返す．
*
* Mat pow(ll d) : O(n^3 log d)
* 自身を d 乗した行列を返す．
*/
template <class T>
struct Matrix {
int m, n; // 行列のサイズ（m 行 n 列）
vector<vector<T>> v; // 行列の成分
// コンストラクタ（初期化なし，零行列，単位行列，二次元配列）
Matrix() : m(0), n(0) {}
Matrix(const int& m_, const int& n_) : m(m_), n(n_), v(m_, vector<T>(n_)) {}
Matrix(const int& n_) : m(n_), n(n_), v(n_, vector<T>(n_)) { rep(i, n) v[i][i] = T(1); }
Matrix(const vector<vector<T>>& a) : m(sz(a)), n(sz(a[0])), v(a) {}
// 代入
Matrix(const Matrix& b) = default;
Matrix& operator=(const Matrix& b) = default;
// 入力
friend istream& operator>>(istream& is, Matrix& a) {
rep(i, a.m) rep(j, a.n) is >> a.v[i][j];
return is;
}
// アクセス
vector<T> const& operator[](int i) const { return v[i]; }
vector<T>& operator[](int i) { return v[i]; }
// 空か
bool empty() { return min(m, n) == 0; }
// 比較
bool operator==(const Matrix& b) const { return m == b.m && n == b.n && v == b.v; }
bool operator!=(const Matrix& b) const { return !(*this == b); }
// 加算，減算，スカラー倍
Matrix& operator+=(const Matrix& b) {
rep(i, m) rep(j, n) v[i][j] += b.v[i][j];
return *this;
}
Matrix& operator-=(const Matrix& b) {
rep(i, m) rep(j, n) v[i][j] -= b.v[i][j];
return *this;
}
Matrix& operator*=(const T& c) {
rep(i, m) rep(j, n) v[i][j] *= c;
return *this;
}
Matrix operator+(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) += b; }
Matrix operator-(const Matrix& b) const { return Matrix(*this) -= b; }
Matrix operator*(const T& c) const { return Matrix(*this) *= c; }
friend Matrix operator*(const T& c, const Matrix<T>& a) { return a * c; }
Matrix operator-() const { return Matrix(*this) *= T(-1); }
// 行列ベクトル積 : O(m n)
vector<T> operator*(const vector<T>& x) const {
vector<T> y(m);
rep(i, m) rep(j, n) y[i] += v[i][j] * x[j];
return y;
}
// ベクトル行列積 : O(m n)
friend vector<T> operator*(const vector<T>& x, const Matrix& a) {
vector<T> y(a.n);
rep(i, a.m) rep(j, a.n) y[j] += x[i] * a.v[i][j];
return y;
}
// 積：O(n^3)
Matrix operator*(const Matrix& b) const {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/matrix_product
Matrix res(m, b.n);
rep(i, res.m) rep(j, res.n) rep(k, n) res.v[i][j] += v[i][k] * b.v[k][j];
return res;
}
Matrix& operator*=(const Matrix& b) { *this = *this * b; return *this; }
// 累乗：O(n^3 log d)
Matrix pow(ll d) const {
Matrix res(n), pow2 = *this;
while (d > 0) {
if ((d & 1) != 0) res *= pow2;
pow2 *= pow2;
d /= 2;
}
return res;
}
#ifdef _MSC_VER
friend ostream& operator<<(ostream& os, const Matrix& a) {
rep(i, a.m) {
os << "[";
rep(j, a.n) os << a.v[i][j] << (j < a.n - 1 ? " " : "]");
if (i < a.m - 1) os << "\n";
}
return os;
}
#endif
};
//【連立一次方程式】O(m n min(m, n))
/*
* m×(n+1) 拡大係数行列 mat で表される連立一次方程式の解の 1 つを sol に格納する．
* 解が存在しないなら false を返す．
*/
template <class T>
bool solve_eq(const Matrix<T>& mat, vector<T>* sol = nullptr) {
// verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/problems/2171
int m = mat.m, n = mat.n - 1; auto v = mat.v;
// ピボットの位置を記録しておくリスト
vector<pii> pivots;
// 未確定の列を記録しておくリスト
list<int> rmd;
repi(j, 0, n) rmd.push_back(j);
rep(i, m) {
// i 行目の係数を左から走査し非 0 を見つける．
auto it = rmd.begin();
for (; it != rmd.end(); it++) if (v[i][*it] != T(0)) break;
// 全てが 0 なら無視
if (it == rmd.end()) continue;
int j = *it;
// 定数項のみが非 0 なら解なし
if (j == n) return false;
rmd.erase(it);
pivots.emplace_back(i, j);
// v[i][j] が 1 になるよう行全体を v[i][j] で割る．
T vij_inv = T(1) / v[i][j];
repi(j2, j, n) v[i][j2] *= vij_inv;
// j 列目に見つかったら他の行の j 列目を全て 0 にする．
rep(i2, m) {
if (v[i2][j] == T(0) || i2 == i) continue;
T mul = v[i2][j];
repi(j2, j, n) v[i2][j2] -= v[i][j2] * mul;
}
}
// 解の例の構成（任意定数は全て 0 にする）
if (sol != nullptr) {
sol->assign(n, T(0));
repe(p, pivots) (*sol)[p.second] = v[p.first][n];
}
return true;
}
// ABC299Ex からコピペして改変
mint TLE(int m, int k, int r) {
// dp[i] : マス i に居る状態からあがるまでのターン数の期待値
// mat0 : (dp[0], ..., dp[5], 1) への遷移行列
Matrix<mint> mat0(k + 1, k + 1);
repi(i, 1, k - 1) mat0[i][i - 1] = 1;
mat0[k][k] = 1;
dump(mat0);
// mat : i≠0 なる (dp[i], ..., dp[i+5], 1) への遷移行列
auto mat(mat0);
rep(j, k) mat[0][j] = mint(k).inv();
mat[0][k] = 1;
dump(mat);
// M : (dp[r], ..., dp[r+5], 1) から 1 周した (dp[r], ..., dp[r+5], 1) への遷移行列
Matrix<mint> M(k + 1);
M = mat.pow(m - r - 1) * M;
M = mat0 * M;
M = mat.pow(r) * M;
dump(M);
// coef : M-E から不要な行を削り定数項を右辺に回して作った行列方程式に対応する拡大係数行列
Matrix<mint> coef(k, k + 1);
rep(i, k) rep(j, k) coef[i][j] = M[i][j];
rep(i, k) coef[i][i] -= 1;
rep(i, k) coef[i][k] = -M[i][k];
// 行列方程式 (M-E) dp = -b を解く．
vm sol;
solve_eq(coef, &sol);
dump(sol);
// dp の最初の成分が答え
return sol[0];
}
//【形式的冪級数】
/*
* MFPS() : O(1)
* 零多項式 f = 0 で初期化する．
*
* MFPS(mint c0) : O(1)
* 定数多項式 f = c0 で初期化する．
*
* MFPS(mint c0, int n) : O(n)
* n 次未満の項をもつ定数多項式 f = c0 で初期化する．
*
* MFPS(vm c) : O(n)
* f(z) = c[0] + c[1] z + ... + c[n - 1] z^(n-1) で初期化する．
*
* set_conv(vm(*CONV)(const vm&, const vm&)) : O(1)
* 畳込み用の関数を CONV に設定する．
*
* c + f, f + c : O(1) f + g : O(n)
* f - c : O(1) c - f, f - g, -f : O(n)
* c * f, f * c : O(n) f * g : O(n log n) f * g_sp : O(n k)（k : g の項数）
* f / c : O(n) f / g : O(n log n) f / g_sp : O(n k)（k : g の項数）
* 形式的冪級数としての和，差，積，商の結果を返す．
* g_sp はスパース多項式であり，{次数, 係数} の次数昇順の組の vector で表す．
* 制約 : 商では g(0) != 0
*
* MFPS f.inv(int d) : O(n log n)
* 1 / f mod z^d を返す．
* 制約 : f(0) != 0
*
* MFPS f.quotient(MFPS g) : O(n log n)
* MFPS f.reminder(MFPS g) : O(n log n)
* pair<MFPS, MFPS> f.quotient_remainder(MFPS g) : O(n log n)
* 多項式としての f を g で割った商，余り，商と余りの組を返す．
* 制約 : g の最高次の係数は 0 でない
*
* int f.deg(), int f.size() : O(1)
* 多項式 f の次数[項数]を返す．
*
* MFPS::monomial(int d, mint c = 1) : O(d)
* 単項式 c z^d を返す．
*
* mint f.assign(mint c) : O(n)
* 多項式 f の不定元 z に c を代入した値を返す．
*
* f.resize(int d) : O(1)
* mod z^d をとる．
*
* f.resize() : O(n)
* 不要な高次の項を削る．
*
* f >> d, f << d : O(n)
* 係数列を d だけ右[左]シフトした多項式を返す．
* （右シフトは z^d の乗算，左シフトは z^d で割った商と等価）
*/
struct MFPS {
using SMFPS = vector<pair<int, mint>>;
int n; // 係数の個数（次数 + 1）
vm c; // 係数列
inline static vm(*CONV)(const vm&, const vm&) = convolution; // 畳込み用の関数
// コンストラクタ（0，定数，係数列で初期化）
MFPS() : n(0) {}
MFPS(mint c0) : n(1), c({ c0 }) {}
MFPS(int c0) : n(1), c({ mint(c0) }) {}
MFPS(mint c0, int d) : n(d), c(n) { c[0] = c0; }
MFPS(int c0, int d) : n(d), c(n) { c[0] = c0; }
MFPS(const vm& c_) : n(sz(c_)), c(c_) {}
MFPS(const vi& c_) : n(sz(c_)), c(n) { rep(i, n) c[i] = c_[i]; }
// 代入
MFPS(const MFPS& f) = default;
MFPS& operator=(const MFPS& f) = default;
MFPS& operator=(const mint& c0) { n = 1; c = { c0 }; return *this; }
// 比較
[[nodiscard]] bool operator==(const MFPS& g) const { return c == g.c; }
[[nodiscard]] bool operator!=(const MFPS& g) const { return c != g.c; }
// アクセス
inline mint const& operator[](int i) const { return c[i]; }
inline mint& operator[](int i) { return c[i]; }
// 次数
[[nodiscard]] int deg() const { return n - 1; }
[[nodiscard]] int size() const { return n; }
static void set_conv(vm(*CONV_)(const vm&, const vm&)) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/tdpc/tasks/tdpc_fibonacci
CONV = CONV_;
}
// 加算
MFPS& operator+=(const MFPS& g) {
if (n >= g.n) rep(i, g.n) c[i] += g.c[i];
else {
rep(i, n) c[i] += g.c[i];
repi(i, n, g.n - 1) c.push_back(g.c[i]);
n = g.n;
}
return *this;
}
[[nodiscard]] MFPS operator+(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) += g; }
// 定数加算
MFPS& operator+=(const mint& sc) {
if (n == 0) { n = 1; c = { sc }; }
else { c[0] += sc; }
return *this;
}
[[nodiscard]] MFPS operator+(const mint& sc) const { return MFPS(*this) += sc; }
[[nodiscard]] friend MFPS operator+(const mint& sc, const MFPS& f) { return f + sc; }
MFPS& operator+=(const int& sc) { *this += mint(sc); return *this; }
[[nodiscard]] MFPS operator+(const int& sc) const { return MFPS(*this) += sc; }
[[nodiscard]] friend MFPS operator+(const int& sc, const MFPS& f) { return f + sc; }
// 減算
MFPS& operator-=(const MFPS& g) {
if (n >= g.n) rep(i, g.n) c[i] -= g.c[i];
else {
rep(i, n) c[i] -= g.c[i];
repi(i, n, g.n - 1) c.push_back(-g.c[i]);
n = g.n;
}
return *this;
}
[[nodiscard]] MFPS operator-(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) -= g; }
// 定数減算
MFPS& operator-=(const mint& sc) { *this += -sc; return *this; }
[[nodiscard]] MFPS operator-(const mint& sc) const { return MFPS(*this) -= sc; }
[[nodiscard]] friend MFPS operator-(const mint& sc, const MFPS& f) { return -(f - sc); }
MFPS& operator-=(const int& sc) { *this += -sc; return *this; }
[[nodiscard]] MFPS operator-(const int& sc) const { return MFPS(*this) -= sc; }
[[nodiscard]] friend MFPS operator-(const int& sc, const MFPS& f) { return -(f - sc); }
// 加法逆元
[[nodiscard]] MFPS operator-() const { return MFPS(*this) *= -1; }
// 定数倍
MFPS& operator*=(const mint& sc) { rep(i, n) c[i] *= sc; return *this; }
[[nodiscard]] MFPS operator*(const mint& sc) const { return MFPS(*this) *= sc; }
[[nodiscard]] friend MFPS operator*(const mint& sc, const MFPS& f) { return f * sc; }
MFPS& operator*=(const int& sc) { *this *= mint(sc); return *this; }
[[nodiscard]] MFPS operator*(const int& sc) const { return MFPS(*this) *= sc; }
[[nodiscard]] friend MFPS operator*(const int& sc, const MFPS& f) { return f * sc; }
// 右からの定数除算
MFPS& operator/=(const mint& sc) { *this *= sc.inv(); return *this; }
[[nodiscard]] MFPS operator/(const mint& sc) const { return MFPS(*this) /= sc; }
MFPS& operator/=(const int& sc) { *this /= mint(sc); return *this; }
[[nodiscard]] MFPS operator/(const int& sc) const { return MFPS(*this) /= sc; }
// 積
MFPS& operator*=(const MFPS& g) { c = CONV(c, g.c); n = sz(c); return *this; }
[[nodiscard]] MFPS operator*(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) *= g; }
// 除算
[[nodiscard]] MFPS inv(int d) const {
// 参考：https://nyaannyaan.github.io/library/fps/formal-power-series.hpp
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/inv_of_formal_power_series
//【方法】
// 1 / f mod z^d を求めることは，
// f g = 1 (mod z^d)
// なる g を求めることである．
// この d の部分を 1, 2, 4, ..., 2^i と倍々にして求めていく．
//
// d = 1 のときについては
// g = 1 / f[0] (mod z^1)
// である．
//
// 次に，
// g = h (mod z^k)
// が求まっているとして
// g mod z^(2 k)
// を求める．最初の式を変形していくことで
// g - h = 0 (mod z^k)
// ⇒ (g - h)^2 = 0 (mod z^(2 k))
// ⇔ g^2 - 2 g h + h^2 = 0 (mod z^(2 k))
// ⇒ f g^2 - 2 f g h + f h^2 = 0 (mod z^(2 k))
// ⇔ g - 2 h + f h^2 = 0 (mod z^(2 k)) (f g = 1 (mod z^d) より)
// ⇔ g = (2 - f h) h (mod z^(2 k))
// を得る．
//
// この手順を d ≦ 2^i となる i まで繰り返し，d 次以上の項を削除すればよい．
Assert(!c.empty());
Assert(c[0] != 0);
MFPS g(c[0].inv());
for (int k = 1; k < d; k *= 2) {
int len = max(min(2 * k, d), 1);
MFPS tmp(0, len);
rep(i, min(len, n)) tmp[i] = -c[i]; // -f
tmp *= g; // -f h
tmp.resize(len);
tmp[0] += 2; // 2 - f h
g *= tmp; // (2 - f h) h
g.resize(len);
}
return g;
}
MFPS& operator/=(const MFPS& g) { return *this *= g.inv(max(n, g.n)); }
[[nodiscard]] MFPS operator/(const MFPS& g) const { return MFPS(*this) /= g; }
// 余り付き除算
[[nodiscard]] MFPS quotient(const MFPS& g) const {
// 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/fps/formal-power-series.hpp
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials
//【方法】
// f(x) = g(x) q(x) + r(x) となる q(x) を求める．
// f の次数は n - 1, g の次数は m - 1 とする．(n >= m)
// 従って q の次数は n - m，r の次数は m - 2 となる．
//
// f^R で f の係数列を逆順にした多項式を表す．すなわち
// f^R(x) := f(1/x) x^(n-1)
// である．他の多項式も同様とする．
//
// 最初の式で x → 1/x と置き換えると，
// f(1/x) = g(1/x) q(1/x) + r(1/x)
// ⇔ f(1/x) x^(n-1) = g(1/x) q(1/x) x^(n-1) + r(1/x) x^(n-1)
// ⇔ f(1/x) x^(n-1) = g(1/x) x^(m-1) q(1/x) x^(n-m) + r(1/x) x^(m-2) x^(n-m+1)
// ⇔ f^R(x) = g^R(x) q^R(x) + r^R(x) x^(n-m+1)
// ⇒ f^R(x) = g^R(x) q^R(x) (mod x^(n-m+1))
// ⇒ q^R(x) = f^R(x) / g^R(x) (mod x^(n-m+1))
// を得る．
//
// これで q を mod x^(n-m+1) で正しく求めることができることになるが，
// q の次数は n - m であったから，q 自身を正しく求めることができた．
if (n < g.n) return MFPS();
return ((this->rev() / g.rev()).resize(n - g.n + 1)).rev();
}
[[nodiscard]] MFPS reminder(const MFPS& g) const {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials
return (*this - this->quotient(g) * g).resize(g.n - 1);
}
[[nodiscard]] pair<MFPS, MFPS> quotient_remainder(const MFPS& g) const {
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/division_of_polynomials
pair<MFPS, MFPS> res;
res.first = this->quotient(g);
res.second = (*this - res.first * g).resize(g.n - 1);
return res;
}
// スパース積
MFPS& operator*=(const SMFPS& g) {
// g の定数項だけ例外処理
auto it0 = g.begin();
mint g0 = 0;
if (it0->first == 0) {
g0 = it0->second;
it0++;
}
// 後ろからインライン配る DP
repir(i, n - 1, 0) {
// 上位項に係数倍して配っていく．
for (auto it = it0; it != g.end(); it++) {
auto [j, gj] = *it;
if (i + j >= n) break;
c[i + j] += c[i] * gj;
}
// 定数項は最後に配るか消去しないといけない．
c[i] *= g0;
}
return *this;
}
[[nodiscard]] MFPS operator*(const SMFPS& g) const { return MFPS(*this) *= g; }
// スパース商
MFPS& operator/=(const SMFPS& g) {
// g の定数項だけ例外処理
auto it0 = g.begin();
Assert(it0->first == 0 && it0->second != 0);
mint g0_inv = it0->second.inv();
it0++;
// 前からインライン配る DP（後ろに累積効果あり）
rep(i, n) {
// 定数項は最初に配らないといけない．
c[i] *= g0_inv;
// 上位項に係数倍して配っていく．
for (auto it = it0; it != g.end(); it++) {
auto [j, gj] = *it;
if (i + j >= n) break;
c[i + j] -= c[i] * gj;
}
}
return *this;
}
[[nodiscard]] MFPS operator/(const SMFPS& g) const { return MFPS(*this) /= g; }
// 係数反転
[[nodiscard]] MFPS rev() const { MFPS h = *this; reverse(all(h.c)); return h; }
// 単項式
[[nodiscard]] static MFPS monomial(int d, mint coef = 1) {
MFPS mono(0, d + 1);
mono[d] = coef;
return mono;
}
// 不要な高次項の除去
MFPS& resize() {
// 最高次の係数が非 0 になるまで削る．
while (n > 0 && c[n - 1] == 0) {
c.pop_back();
n--;
}
return *this;
}
// x^d 以上の項を除去する．
MFPS& resize(int d) {
n = d;
c.resize(d);
return *this;
}
// 不定元への代入
[[nodiscard]] mint assign(const mint& x) const {
mint val = 0;
repir(i, n - 1, 0) val = val * x + c[i];
return val;
}
// 係数のシフト
MFPS& operator>>=(int d) {
n += d;
c.insert(c.begin(), d, 0);
return *this;
}
MFPS& operator<<=(int d) {
n -= d;
if (n <= 0) { c.clear(); n = 0; }
else c.erase(c.begin(), c.begin() + d);
return *this;
}
[[nodiscard]] MFPS operator>>(int d) const { return MFPS(*this) >>= d; }
[[nodiscard]] MFPS operator<<(int d) const { return MFPS(*this) <<= d; }
#ifdef _MSC_VER
friend ostream& operator<<(ostream& os, const MFPS& f) {
if (f.n == 0) os << 0;
else {
rep(i, f.n) {
os << f[i] << "z^" << i;
if (i < f.n - 1) os << " + ";
}
}
return os;
}
#endif
};
//【拡張ユークリッドの互除法】O(deg(a) deg(b)) (?) // TODO：遅いので作り直す
/*
* a(x) u(x) + b(x) v(x) = g(x) の解 (u(x), v(x)) を u, v に格納する．
* またモニックな g(x) = gcd(a(x), b(x)) を返す．
*/
MFPS extended_gcd(MFPS a, MFPS b, MFPS& u, MFPS& v) {
b.resize();
if (sz(b) == 0) {
u = MFPS(a[a.deg()].inv());
v = MFPS();
a /= a[a.deg()];
return a;
}
MFPS d = extended_gcd(b, a.reminder(b), v, u);
v -= a.quotient(b) * u;
return d;
}
//【多項式逆元】O(deg(a) deg(b)) (?) // TODO：遅いので作り直す
/*
* a(x) u(x) = 1 (mod b(x)) を満たす u(x) を格納する．（なければ false を返す）
*
* 利用：【拡張ユークリッドの互除法】
*/
bool polynomial_inverse(const MFPS& a, const MFPS& b, MFPS& u) {
MFPS v;
MFPS g = extended_gcd(a, b, u, v);
return g == MFPS(1);
}
//【累乗（モノイド）】O(log n)
/*
* モノイド (S, op, e) の元 x の n 乗を返す．
*
*（繰り返し二乗法）
*/
template <class S, S(*op)(S, S), S(*e)()>
S pow(const S& x, ll n) {
// verify : https://atcoder.jp/contests/abc013/tasks/abc013_4
S res(e()), pow2 = x;
while (n > 0) {
if (n & 1) res = op(res, pow2);
pow2 = op(pow2, pow2);
n /= 2;
}
return res;
}
//【アフィン変換の合成 モノイド】
/*
* S ∋ f = {a, b} : 一次関数 f(x) = a x + b を表す．
* f op g : 合成した一次関数 f o g を返す．
*
* 行列 (a, b; 0, 1) の全体が積に関して作っているモノイドともみなせる．
*/
using T008 = MFPS;
using S008 = pair<T008, T008>;
T008 MOD;
S008 op008(S008 f, S008 g) {
auto [a, b] = f; // f(x) = a x + b;
auto [c, d] = g; // g(x) = c x + d;
// (f o g)(x) = a (c x + d) + b = (a c)x + (a d + b)
return { (a * c).reminder(MOD), (a * d + b).reminder(MOD) };
}
S008 e008() { return { MFPS(1), MFPS() }; } // e(x) = x = 1 x + 0
#define AffineComposite_monoid S008, op008, e008
// 多項式環の剰余環上でなんやかんやしたかったけど失敗．
mint WA(int m, int k, int r) {
MOD = MFPS(0, k + 1);
mint k_inv = mint(k).inv();
rep(i, k) MOD[i] = -k_inv;
MOD[k] = 1;
dump(MOD);
MFPS a(vm{ 0, 1 });
MFPS b(vm(k, 1));
S008 mat{ a, b };
dump(mat);
MFPS a_inv;
Assert(polynomial_inverse(a, MOD, a_inv));
dump(a_inv);
MFPS c = a_inv;
MFPS d = (-b * a_inv).reminder(MOD);
S008 mat_inv{ c, d };
dump(mat_inv);
auto [a2, b2] = pow<AffineComposite_monoid>(mat, m - 1 - r);
dump(a2, b2);
auto [c2, d2] = pow<AffineComposite_monoid>(mat_inv, r);
dump(c2, d2);
MFPS MOD2 = MOD >> k;
MFPS dnm_inv;
Assert(polynomial_inverse(c2 - (a2 >> 1), MOD2, dnm_inv));
auto dp = (-d2 + (b2 >> 1)) * dnm_inv;
dump(dp);
return dp[0];
}
//【線形漸化式の発見】O(n^2)
/*
* 与えられた数列 a[0..n) に対し，以下の等式を満たす c[0..d) で d を最小とするものを返す：
* a[i] = Σj=[0..d) c[j] a[i-1-j] (∀i∈[d..n))
*/
vm berlekamp_massey(const vm& a) {
// 参考 : https://en.wikipedia.org/wiki/Berlekamp%E2%80%93Massey_algorithm
// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/find_linear_recurrence
MFPS S(a), C(1), B(1);
int N = sz(a), m = 1; mint b = 1;
rep(n, N) {
mint d = 0;
rep(i, sz(C)) d += C[i] * S[n - i];
if (d == 0) {
m++;
}
else if (2 * C.deg() <= n) {
MFPS T(C);
C -= d * b.inv() * (B >> m);
B = T;
b = d;
m = 1;
}
else {
C -= d * b.inv() * (B >> m);
m++;
}
}
return (-C << 1).c;
}
//【最小多項式】O(n^3)
/*
* n 次正方行列 A = a[0..n)[0..n) の最小多項式を返す．
* 最小多項式とは，f(A) = O を満たす次数最小なモニック多項式である．
*
* 利用：【線形漸化式の発見】
*/
MFPS minimal_polynomial(int n, const MFPS& a2, const MFPS& b2, const MFPS& a3, const MFPS& b3) {
// 参考 : https://yukicoder.me/wiki/black_box_linear_algebra
mt19937 mt;
mt.seed((int)time(NULL));
uniform_int_distribution<> rnd(0, mint::mod() - 1);
int k = n - 1;
vm u(n); vm v(n);
rep(i, n) {
u[i] = rnd(mt);
v[i] = rnd(mt);
}
dump(v);
vm s(2 * n);
rep(i, 2 * n) {
rep(j, n) s[i] += u[j] * v[j];
MFPS f(0, k);
f[0] = v[0];
repi(j, 1, k - 1) f[j] = f[j - 1] + v[j];
f = (a2 * f + b2).reminder(MOD);
repir(j, k - 1, 1) f[j] = f[j - 1];
f[0] = 0;
f = (a3 * f + b3).reminder(MOD);
vm nv(n);
nv[0] = f[0];
repi(j, 1, k - 1) nv[j] = f[j] - f[j - 1];
repi(j, 0, k - 1) nv[j] -= v[j];
nv[k] = v[k];
v = move(nv);
dump(v);
}
vm c = berlekamp_massey(s);
MFPS f(c);
f = (1 - (f >> 1)).rev();
return f;
}
// O(k^2 log k)
mint TLE2(int m, int k, int r) {
MOD = MFPS(0, k + 1);
mint k_inv = mint(k).inv();
rep(i, k) MOD[i] = -k_inv;
MOD[k] = 1;
dump(MOD);
MFPS a(vm{ 0, 1 });
MFPS b(vm(k, 1));
S008 mat{ a, b };
dump(mat);
auto [a2, b2] = pow<AffineComposite_monoid>(mat, m - 1 - r);
dump(a2, b2);
auto [a3, b3] = pow<AffineComposite_monoid>(mat, r);
dump(a3, b3);
auto c = minimal_polynomial(k + 1, a2, b2, a3, b3);
dump(c);
mint res = 0;
int n = k + 1; MFPS v(0, n); v[n - 1] = 1;
rep(i, sz(c) - 1) {
dump("- - - -");
dump(v);
res += c[i + 1] * v[0];
MFPS f(0, k);
f[0] = v[0];
repi(j, 1, k - 1) f[j] = f[j - 1] + v[j];
f = (a2 * f + b2).reminder(MOD);
repir(j, k - 1, 1) f[j] = f[j - 1];
f[0] = 0;
f = (a3 * f + b3).reminder(MOD);
vm nv(n);
nv[0] = f[0];
repi(j, 1, k - 1) nv[j] = f[j] - f[j - 1];
repi(j, 0, k - 1) nv[j] -= v[j];
nv[k] = v[k];
v = move(nv);
}
res *= -c[0].inv();
return res;
}
int main() {
// input_from_file("input.txt");
// output_to_file("output.txt");
int m, k, r;
cin >> m >> k >> r;
dump(TLE(m, k, r)); dump("------");
cout << TLE2(m, k, r) << endl;
}