#999207 (C++17) No.2829 GCD Divination

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結果

問題	No.2829 GCD Divination
ユーザー	ecottea
提出日時	2024-08-02 21:51:36
言語	C++17 (gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果	AC
実行時間	8 ms / 2,000 ms
コード長	14,878 bytes
コンパイル時間	4,149 ms
コンパイル使用メモリ	274,572 KB
実行使用メモリ	6,948 KB
最終ジャッジ日時	2024-08-02 21:51:43
合計ジャッジ時間	5,130 ms
ジャッジサーバーID （参考情報）	judge5 / judge2
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入力	結果	実行時間実行使用メモリ
testcase_00	AC	1 ms 6,816 KB
testcase_01	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_02	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_03	AC	2 ms 6,948 KB
testcase_04	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_05	AC	8 ms 6,940 KB
testcase_06	AC	7 ms 6,944 KB
testcase_07	AC	6 ms 6,944 KB
testcase_08	AC	6 ms 6,944 KB
testcase_09	AC	6 ms 6,944 KB
testcase_10	AC	1 ms 6,944 KB
testcase_11	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_12	AC	1 ms 6,940 KB
testcase_13	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_14	AC	1 ms 6,940 KB
testcase_15	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_16	AC	1 ms 6,940 KB
testcase_17	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_18	AC	1 ms 6,944 KB
testcase_19	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_20	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_21	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_22	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_23	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_24	AC	1 ms 6,944 KB
testcase_25	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_26	AC	1 ms 6,940 KB
testcase_27	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_28	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_29	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_30	AC	2 ms 6,944 KB
testcase_31	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_32	AC	1 ms 6,948 KB
testcase_33	AC	2 ms 6,940 KB
testcase_34	AC	2 ms 6,944 KB
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ソースコード

raw source code
#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;	using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;	using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }
template <class T> inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif

//using mint = modint1000000007;
using mint = modint998244353;
//using mint = static_modint<999676999>;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);

namespace atcoder {
	inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
	inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>; using pim = pair<int, mint>;
#endif


#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; }
template <size_t N> inline int lsb(const bitset<N>& b) { return b._Find_first(); }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); EXIT(MLE.back()); } } // RE の代わりに MLE を出す
#endif


//【約数倍数変換】
/*
* Div_mul_transform<T>(int n) : O(n log(log n))
*   n 以下の素数を持って初期化する．
*
* divisor_zeta(vT& a) : O(n log(log n))
*   A[i] = Σ_(j | i) a[j] なる A に上書きする（約数からの寄与を足し込む）
*
* divisor_mobius(vT& A) : O(n log(log n))
*   A[i] = Σ_(j | i) a[j] なる a に上書きする（約数からの寄与を取り除く）
*
* vT lcm_convolution(vT a, vT b) : O(n log(log n))
*   c[k] = Σ_(LCM(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
*   ただし c[n] を含めそれ以降は切り捨てる．
*
* multiple_zeta(vT& a) : O(n log(log n))
*   A[i] = Σ_(i | j) a[j] なる A に上書きする（倍数からの寄与を足し込む）
*
* multiple_mobius(vT& A) : O(n log(log n))
*   A[i] = Σ_(i | j) a[j] なる a に上書きする（倍数からの寄与を取り除く）
*
* vT gcd_convolution(vT a, vT b) : O(n log(log n))
*   c[k] = Σ_(GCD(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
*
* 制約：1-indexed とし，a[0], b[0] は使用しない．
*/
template <typename T>
class Div_mul_transform {
	// 参考 : https://qiita.com/convexineq/items/afc84dfb9ee4ec4a67d5

	vi ps; // 素数のリスト

public:
	// n 以下の素数を持って初期化する．
	Div_mul_transform(int n) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution

		// is_prime[i] : i が素数か
		vb is_prime(n + 1, true);
		is_prime[0] = is_prime[1] = false;
		int i = 2;

		// √n 以下の i の処理
		for (; i <= n / i; i++) if (is_prime[i]) {
			ps.push_back(i);
			for (int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
		}

		// √n より大きい i の処理
		for (; i <= n; i++) if (is_prime[i]) ps.push_back(i);
	}
	Div_mul_transform() {}

	// A[i] = Σ_(j | i) a[j] なる A に上書きする（約数からの寄与を足し込む）
	void divisor_zeta(vector<T>& a) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/lcm_convolution

		//【例（n = 8 のとき）】
		//	A[1] = a[1]
		//	A[2] = a[1] + a[2]
		//	A[3] = a[1]        + a[3]
		//	A[4] = a[1] + a[2]        + a[4]
		//	A[5] = a[1]                      + a[5]
		//	A[6] = a[1] + a[2] + a[3]               + a[6]
		//	A[7] = a[1]                                    + a[7]
		//	A[8] = a[1] + a[2]        + a[4]                      + a[8]

		//【備考】
		// a[1..n] のディリクレ母関数を α(s) = Σ_i a[i] i^(-s) とすると，
		// α(s) にゼータ関数 ζ(s) = Σ_i i^(-s) を掛けることに対応する．

		int n = sz(a) - 1;

		// 各素因数ごとに下からの累積和をとる
		repe(p, ps) repi(i, 1, n / p) a[p * i] += a[i];
	}

	//  A[i] = Σ_(j | i) a[j] なる a に上書きする（約数からの寄与を取り除く）
	void divisor_mobius(vector<T>& A) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/lcm_convolution

		//【例（n = 8 のとき）】
		//	a[1] =  A[1]
		//	a[2] = -A[1] + A[2]
		//	a[3] = -A[1]        + A[3]
		//	a[4] =       - A[2]        + A[4]
		//	a[5] = -A[1]                      + A[5]
		//	a[6] =  A[1] - A[2] - A[3]               + A[6]
		//	a[7] = -A[1]                                    + A[7]
		//	a[8] =                     - A[4]                      + A[8]

		int n = sz(A) - 1;

		// 各素因数ごとに上からの差分をとる
		repe(p, ps) repir(i, n / p, 1) A[p * i] -= A[i];
	}

	// c[k] = Σ_(LCM(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
	vector<T> lcm_convolution(vector<T> a, vector<T> b) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/lcm_convolution

		int n = sz(a) - 1;

		// 各素因数の max をとったものが LCM なので max 畳込みを行う．
		divisor_zeta(a); divisor_zeta(b);
		repi(i, 1, n) a[i] *= b[i];
		divisor_mobius(a);
		return a;
	}

	// A[i] = Σ_(i | j) a[j] なる A に上書きする（倍数からの寄与を足し込む）
	void multiple_zeta(vector<T>& a) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution

		//【例（n = 8 のとき）】
		//	A[1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8]
		//	A[2] =        a[2]        + a[4]        + a[6]        + a[8]
		//	A[3] =               a[3]               + a[6]              
		//	A[4] =                      a[4]                      + a[8]
		//	A[5] =                             a[5]                     
		//	A[6] =                                    a[6]              
		//	A[7] =                                           a[7]       
		//	A[8] =                                                  a[8]

		//【備考】
		// a[1..n] のディリクレ母関数を α(s) = Σ_i a[i] i^(-s) とすると，
		// α(s) にゼータ関数の変種 ζ(-s) = Σ_i i^s を掛けることに対応する．

		int n = sz(a) - 1;

		// 各素因数ごとに上からの累積和をとる
		repe(p, ps) repir(i, n / p, 1) a[i] += a[p * i];
	}

	// A[i] = Σ_(i | j) a[j] なる a に上書きする（倍数からの寄与を取り除く）
	void multiple_mobius(vector<T>& A) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution

		//【例（n = 8 のとき）】
		//	a[1] = A[1] - A[2] - A[3]        - A[5] + A[6] - a[7]       
		//	a[2] =        A[2]        - A[4]        - A[6]              
		//	a[3] =               A[3]               - A[6]              
		//	a[4] =                      A[4]                      - A[8]
		//	a[5] =                             A[5]                     
		//	a[6] =                                    A[6]              
		//	a[7] =                                           A[7]       
		//	a[8] =                                                  A[8]

		int n = sz(A) - 1;

		// 各素因数ごとに下からの差分をとる
		repe(p, ps) repi(i, 1, n / p) A[i] -= A[p * i];
	}

	// c[k] = Σ_(GCD(i, j) = k) a[i] b[j] なる c を返す．
	vector<T> gcd_convolution(vector<T> a, vector<T> b) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/gcd_convolution

		int n = sz(a) - 1;

		// 各素因数の min をとったものが GCD なので min 畳込みを行う．
		multiple_zeta(a); multiple_zeta(b);
		repi(i, 1, n) a[i] *= b[i];
		multiple_mobius(a);
		return a;
	}
};


//【オイラー関数（一括）】O(n log(log n))
/*
* 各 i∈[1..n] についてオイラー関数 φ(i) の値を格納したリストを返す．
*
* 利用：【約数倍数変換】
*/
vl euler_phi(int n) {
	// 参考 : https://maspypy.com/%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF%E5%85%A5%E9%96%80%EF%BC%9Adirichlet%E7%A9%8D%E3%81%A8%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6
	// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2249

	//【方法】
	// i の各約数 d について，GCD(i, x) = d となる x∈[1..i] の個数は，
	// x が GCD(i/d, y) = 1 なる y∈[1..i/d] を用いて x = y d と表されるので
	// オイラー関数の定義より φ(i/d) に等しい．
	// これらを全ての d にわたって足し合わせることで，[1..i] を i との GCD で分類した等式
	//		i = Σ_(d|i) φ(i/d)
	//		⇔ i = Σ_(d|i) φ(d)
	// を得る．これは φ を約数ゼータ変換したものが a[i] = i であることを意味する．

	vl a(n + 1);
	repi(i, 1, n) a[i] = i;

	// int にすると途中計算でオーバーフローするので注意
	Div_mul_transform<ll> dt(n);
	dt.divisor_mobius(a);

	return a;
}


double TLE(int n) {
	auto phi = euler_phi(n);

	vd dp(n + 1);
	dp[n] = 1;

	repir(i, n - 1, 1) {
		for (int j = i * 2; j <= n; j += i) {
			dp[i] += dp[j] * phi[j / i] / (j - 1);
		}
	}
	dump(dp);

	double res = 0;

	repi(i, 2, n) {
		res += dp[i] * i / (i - 1);
	}

	return res;
}


//【素因数分解】O(√n)
/*
* n を素因数分解した結果を pps に格納し pps を返す．
* pps[p] = d は n に素因数 p が d 個含まれていることを表す．
*/
template <class T>
map<T, int> factor_integer(T n) {
	// verify : https://algo-method.com/tasks/457

	map<T, int> pps;

	for (T i = 2; i * i <= n; i++) {
		int d = 0;
		while (n % i == 0) {
			d++;
			n /= i;
		}
		if (d > 0) pps[i] = d;
	}
	if (n > 1) pps[n] = 1;

	return pps;
}


//【オイラー関数】O(√n)
/*
* オイラー関数の値 φ(n) を返す．
*
* 利用：【素因数分解】
*/
ll euler_phi1(ll n) {
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/tetration_mod

	// n を素因数分解した結果を pps に受け取る．
	auto pps = factor_integer(n);

	// φ(n) を計算する．
	ll res = 1;
	repe(pp, pps) {
		res *= (pp.first - 1) * powi(pp.first, pp.second - 1);
	}
	return res;
}


//【約数列挙】O(√n)
/*
* n の約数全てを昇順に格納したリストを返す．
*/
template <class T>
vector<T> divisors(T n) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/tessoku-book/tasks/tessoku_book_fb

	vector<T> ds;

	if (n == 1) {
		ds.push_back(1);
		return ds;
	}

	T i = 1;
	for (; i * i < n; i++) {
		if (n % i == 0) {
			ds.push_back(i);
			ds.push_back(n / i);
		}
	}
	if (i * i == n) ds.push_back(i);

	sort(all(ds));

	return ds;
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	int n;
	cin >> n;

	dump(TLE(n)); dump("--------");

	auto ds = divisors(n);
	dump(ds);

//	unordered_map<int, double> dp;
//	dp[n] = 1;

	int K = sz(ds);

	vd dp(K);
	dp[K - 1] = 1;

	repir(k, K - 2, 0) {
		repi(k2, k + 1, K - 1) {
			if (ds[k2] % ds[k] == 0) {
				int q = ds[k2] / ds[k];
				dp[k] += dp[k2] * euler_phi1(q) / (ds[k2] - 1);
			}
		}
	}

	dump(dp);

	double res = 0;

	repi(k, 1, K - 1) {
		res += dp[k] * ds[k] / (ds[k] - 1);
	}

	cout << res << endl;
}