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問題 No.103 素因数ゲーム リターンズ
ユーザー hiro5277
提出日時 2024-11-24 10:51:30
言語 PyPy3
(7.3.15)
結果
AC  
実行時間 52 ms / 5,000 ms
コード長 3,091 bytes
コンパイル時間 436 ms
コンパイル使用メモリ 82,304 KB
実行使用メモリ 60,800 KB
最終ジャッジ日時 2024-11-24 10:51:33
合計ジャッジ時間 2,889 ms
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import math
from collections import defaultdict
# 方針 : 本質的には変則ニムと同じ問題
#  各素因数の指数 = 各山の石の個数 と読み替えれば変則ニムと同じ
#  1 : Miを素因数分解結果について、各素因数の指数をai1,ai2,...,aikを求める
#  → a11,...,a1k, a21,...,a2k', ... , aNk''を求める
#  → これらを各山の石の個数と読み替えれば鉄則本A34:Grundy数と同じ問題
#  注意 : Mi自身は山ではなく素因数の指数が山
#  2 : G = G11 xor ... xor G1k xor ... xor GNk''を求める
#  4 : G=0なら後手必勝、G≠0なら先手必勝
# 補足:1では、複数回の素因数分解をするので、最初にエラトステネスのふるいで素数をばーっと求めてそれを利用するのが高速だが
# N <= 100なのでまあそれはしない
# 素因数分解
def factrization(N):
  # 2~sqrt(N)で割れるものがあれば可能な限り割る(事前に素数列挙は不要。素数で割り続けるので、合成数では割れることはない)
  prime_factors  = defaultdict(int) # prime_factors[p] = (Nを素因数pで割れた回数)
  for p in range(2,int(math.sqrt(N))+1):
    if(N%p == 0):
      # 素因数pで何回割れるかを求める  
      div_count = 0
      while(N%p == 0):
        N = N//p
        div_count += 1
      prime_factors[p] = div_count 
    # 素因数分解が完了したら抜ける
    if(N == 1):
      break
  # Nが素数 あるいは sqrt(N)以下の素因数で割った残りが素数 の場合
  #   例:1191の場合、1191=3×397, sqrt(1191)=34.5...なので N=397となった状態でループを抜ける
  #   → N=397が素因数分解結果に登録されていない)ので、以下の処理でN=397を追加する
  if(N > 1):
    prime_factors[N] = 1
  return prime_factors
# 各指数に対するGrundy数を求める
def calc_Grundy(MAX_VAL):
  Grundy_list = [None]*(MAX_VAL+1) # Grundy_list[i] : 指数がiのときのGrundy数
  for i in range(MAX_VAL+1):
    # 終了状態(指数が0 つまり1)になったときのGrundy数は0
    if(i == 0):
      Grundy_list[i] = 0
    elif(i == 1):
      Grundy_list[i] = mex(set({Grundy_list[i-1]}))
    else:
      Grundy_list[i] = mex(set({Grundy_list[i-2], Grundy_list[i-1]}))  
  return Grundy_list      
# 集合に含まれない最小の非負整数を返す
def mex(s):
  s = set(s)
  max_val = 100
  for i in range(max_val+1):
    if(not i in s):
      break
  return i
N = int(input())
M = list(map(int, input().split()))
exponents = []
for m in M:
  prime_factors = factrization(m) # 素因数分解の結果
  exponents += prime_factors.values()
#print(exponents)
    
# 各素因数の指数のGrundy数から全体のGrundy数を求める
MAX_VAL = 100 # 指数の最大値
Grundy_sum = 0
Grundy_list = calc_Grundy(MAX_VAL)
#print(Grundy_list)
for e in exponents:
  Grundy_sum = Grundy_sum ^ Grundy_list[e]    
    
# Grundy数:0以外なら先手(Alice)必勝、0なら後手(Bob)必勝、
if(Grundy_sum != 0):
  print("Alice")
else:
  print("Bob")  
הההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההה
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