#1033428 (C++17(gcc12)) No.2996 Floor Sum

• 問題: No.2996 Floor Sum
• ユーザー: ecottea
• 提出日時: 2024-12-27 03:06:46
• 言語: C++17(gcc12) (gcc 12.3.0 + boost 1.87.0)
• 結果: AC
• 実行時間: 939 ms / 5,000 ms
• コード長: 17,320 bytes
• コンパイル時間: 26,665 ms
• コンパイル使用メモリ: 360,956 KB
• 最終ジャッジ日時: 2025-02-26 16:57:03
• ジャッジサーバーID （参考情報）: judge4 / judge1

ファイルパターン	結果
sample	AC * 2
other	AC * 12

ソースコード

// QCFium 法
#pragma GCC target("avx2")
#pragma GCC optimize("O3")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")


#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; using ull = unsigned long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9e18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2e9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;	using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;	using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
int DX[4] = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
int DY[4] = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003094073385LL; // (int)INFL = INF, (int)(-INFL) = -INF;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), (x)))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), (x)))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0, set##_ub = 1 << int(d); set < set##_ub; ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repis(i, set) for(int i = lsb(set), bset##i = set; i < 32; bset##i -= 1 << i, i = lsb(bset##i)) // set の全要素（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll powi(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T getb(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }
template <class T> inline T smod(T n, T m) { n %= m; if (n < 0) n += m; return n; } // 非負mod

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif

using mint = modint998244353;
//using mint = static_modint<1000000007>;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);

namespace atcoder {
	inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
	inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>; using pim = pair<int, mint>;
#endif


#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : 32; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : 64; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define dump(...)
#define dumpel(...)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) { vc MLE(1<<30); EXIT(MLE.back()); } } // RE の代わりに MLE を出す
#endif


//【直線に沿った格子路上の積】O(log(n + m))
/*
* (0, 0) から (n, (an+b)//m) までの直線 y=(ax+b)/m 以下の上方向優先の最短格子路について，
* 右に進むときは f，上に進むときは g を順に掛け合わせたモノイド (S, op, e) の元を返す．
*
* 制約：n≧0, m≧1, a≧0, b≧0
*/
template <class T, class S, S(*op)(S, S), S(*e)()>
S multiple_along_line(T n, T m, T a, T b, S f, S g) {
	// 参考 : https://github.com/hos-lyric/libra/blob/master/number/gojo.cpp
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sum_of_floor_of_linear

	Assert(n >= 0); Assert(m >= 1); Assert(a >= 0); Assert(b >= 0);

	// x^n を返す
	auto pow = [](const S& x, T n) {
		S res(e()), pow2 = x;
		while (n > 0) {
			if (n & 1) res = op(res, pow2);
			pow2 = op(pow2, pow2);
			n /= 2;
		}
		return res;
	};

	S resL = e(), resR = e(); bool rev = false;

	while (true) {
		// 傾きを 1 未満，切片を 1 未満にする．
		if (rev) {
			resR = op(pow(g, b / m), resR);
			f = op(pow(g, a / m), f);
		}
		else {
			resL = op(resL, pow(g, b / m));
			f = op(f, pow(g, a / m));
		}

		a %= m;
		b %= m;
		if (a == 0 || n == 0) break;

		// 左側の中途半端に余っている部分を切り取る．
		T l = (m - b + a - 1) / a;
		if (l > n) {
			if (rev) {
				resR = op(pow(f, n), resR);
			}
			else {
				resL = op(resL, pow(f, n));
			}
			n = 0;
			break;
		}

		if (rev) {
			resR = op(op(g, pow(f, l)), resR);
		}
		else {
			resL = op(resL, op(pow(f, l), g));
		}

		b = a * l + b - m;
		n -= l;
		if (n == 0) break;

		// 軸を取り直して傾きを 1 より大きくする．
		T nn = (a * n + b) / m;
		T nm = a;
		T na = m;
		T nb = a * n + b - m * nn;

		n = nn; m = nm; a = na; b = nb; swap(f, g);
		rev = !rev;
	}

	return op(resL, op(pow(f, n), resR));
}


//【階乗など（法が大きな素数）】
/*
* Factorial_mint(int N) : O(n)
*	N まで計算可能として初期化する．
*
* mint fact(int n) : O(1)
*	n! を返す．
*
* mint fact_inv(int n) : O(1)
*	1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
*
* mint inv(int n) : O(1)
*	1/n を返す．
*
* mint perm(int n, int r) : O(1)
*	順列の数 nPr を返す．
*
* mint bin(int n, int r) : O(1)
*	二項係数 nCr を返す．
*
* mint bin_inv(int n, int r) : O(1)
*	二項係数の逆数 1/nCr を返す．
*
* mint mul(vi rs) : O(|rs|)
*	多項係数 nC[rs] を返す．（n = Σrs）
*
* mint hom(int n, int r) : O(1)
*	重複組合せの数 nHr = n+r-1Cr を返す（0H0 = 1 とする）
*
* mint neg_bin(int n, int r) : O(1)
*	負の二項係数 nCr = (-1)^r -n+r-1Cr を返す（n ≦ 0, r ≧ 0）
*/
class Factorial_mint {
	int n_max;

	// 階乗と階乗の逆数の値を保持するテーブル
	vm fac, fac_inv;

public:
	// n! までの階乗とその逆数を前計算しておく．O(n)
	Factorial_mint(int n) : n_max(n), fac(n + 1), fac_inv(n + 1) {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b

		fac[0] = 1;
		repi(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i;

		fac_inv[n] = fac[n].inv();
		repir(i, n - 1, 0) fac_inv[i] = fac_inv[i + 1] * (i + 1);
	}
	Factorial_mint() : n_max(0) {} // ダミー

	// n! を返す．
	mint fact(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b

		Assert(0 <= n && n <= n_max);
		return fac[n];
	}

	// 1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
	mint fact_inv(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc289/tasks/abc289_h

		Assert(n <= n_max);
		if (n < 0) return 0;
		return fac_inv[n];
	}

	// 1/n を返す．
	mint inv(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/exawizards2019/tasks/exawizards2019_d

		Assert(n > 0);
		Assert(n <= n_max);
		return fac[n - 1] * fac_inv[n];
	}

	// 順列の数 nPr を返す．
	mint perm(int n, int r) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc172/tasks/abc172_e

		Assert(n <= n_max);

		if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
		return fac[n] * fac_inv[n - r];
	}

	// 二項係数 nCr を返す．
	mint bin(int n, int r) const {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/binomial_coefficient_prime_mod

		Assert(n <= n_max);
		if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
		return fac[n] * fac_inv[r] * fac_inv[n - r];
	}

	// 二項係数の逆数 1/nCr を返す．
	mint bin_inv(int n, int r) const {
		// verify : https://www.codechef.com/problems/RANDCOLORING

		Assert(n <= n_max);
		Assert(r >= 0);
		Assert(n - r >= 0);
		return fac_inv[n] * fac[r] * fac[n - r];
	}

	// 多項係数 nC[rs] を返す．
	mint mul(const vi& rs) const {
		// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2141

		if (*min_element(all(rs)) < 0) return 0;
		int n = accumulate(all(rs), 0);
		Assert(n <= n_max);

		mint res = fac[n];
		repe(r, rs) res *= fac_inv[r];

		return res;
	}

	// 重複組合せの数 nHr = n+r-1Cr を返す（0H0 = 1 とする）
	mint hom(int n, int r) {
		// verify : https://mojacoder.app/users/riantkb/problems/toj_ex_2

		if (n == 0) return (int)(r == 0);
		Assert(n + r - 1 <= n_max);
		if (r < 0 || n - 1 < 0) return 0;
		return fac[n + r - 1] * fac_inv[r] * fac_inv[n - 1];
	}

	// 負の二項係数 nCr を返す（n ≦ 0, r ≧ 0）
	mint neg_bin(int n, int r) {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc345/tasks/abc345_g

		if (n == 0) return (int)(r == 0);
		Assert(-n + r - 1 <= n_max);
		if (r < 0 || -n - 1 < 0) return 0;
		return (r & 1 ? -1 : 1) * fac[-n + r - 1] * fac_inv[r] * fac_inv[-n - 1];
	}
};
Factorial_mint fm(123);


//【一次式の累乗切り捨て和】O((P Q)^2 log(n + m))
/*
* Σi∈[0..n) i^P floor((a i + b) / m)^Q を返す．
*
* 利用：【直線に沿った格子路上の積（モノイド）】
*/
using T_apfs = mint; // 戻り値の型
T_apfs bin_apfs[21][21] = { // 足りなければ適宜追加する．
	{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,3,3,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,4,6,4,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,5,10,10,5,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,6,15,20,15,6,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,7,21,35,35,21,7,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,8,28,56,70,56,28,8,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,9,36,84,126,126,84,36,9,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,13,78,286,715,1287,1716,1716,1287,715,286,78,13,1,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,14,91,364,1001,2002,3003,3432,3003,2002,1001,364,91,14,1,0,0,0,0,0,0},
	{1,15,105,455,1365,3003,5005,6435,6435,5005,3003,1365,455,105,15,1,0,0,0,0,0},
	{1,16,120,560,1820,4368,8008,11440,12870,11440,8008,4368,1820,560,120,16,1,0,0,0,0},
	{1,17,136,680,2380,6188,12376,19448,24310,24310,19448,12376,6188,2380,680,136,17,1,0,0,0},
	{1,18,153,816,3060,8568,18564,31824,43758,48620,43758,31824,18564,8568,3060,816,153,18,1,0,0},
	{1,19,171,969,3876,11628,27132,50388,75582,92378,92378,75582,50388,27132,11628,3876,969,171,19,1,0},
	{1,20,190,1140,4845,15504,38760,77520,125970,167960,184756,167960,125970,77520,38760,15504,4845,1140,190,20,1}
};
int ex_apfs, ey_apfs;
struct S_apfs {
	vector<T_apfs> v = vector<T_apfs>((ex_apfs + 1) * (ey_apfs + 1));
	T_apfs f = 0, g = 0;

#ifdef _MSC_VER
	friend ostream& operator<<(ostream& os, const S_apfs& x) {
		os << "(" << x.v << "," << x.f << "," << x.g << ")";
		return os;
	}
#endif
};
S_apfs op_apfs(S_apfs b, S_apfs a) {
	vector<T_apfs> bf_pow(ex_apfs + 1);
	bf_pow[0] = T_apfs(1);
	repi(i, 1, ex_apfs) bf_pow[i] = bf_pow[i - 1] * b.f;

	vector<T_apfs> bg_pow(ey_apfs + 1);
	bg_pow[0] = T_apfs(1);
	repi(i, 1, ey_apfs) bg_pow[i] = bg_pow[i - 1] * b.g;

	repi(jx, 0, ex_apfs) repi(jy, 0, ey_apfs) {
		repi(ix, jx, ex_apfs) repi(iy, jy, ey_apfs) {
			b.v[jx * (ey_apfs + 1) + jy] += a.v[ix * (ey_apfs + 1) + iy]
				* bin_apfs[ix][jx] * bf_pow[ix - jx]
				* bin_apfs[iy][jy] * bg_pow[iy - jy];
		}
	}

	b.f += a.f;
	b.g += a.g;

	return b;
}
S_apfs e_apfs() {
	S_apfs a;
	return a;
}
template <class T>
T_apfs arithmetic_powered_floor_sum(T n, T m, T a, T b, int P, int Q) {
	// 参考 : https://qiita.com/sounansya/items/51b39e0d7bf5cc194081
	// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2996

	//【方法】
	// i^p floor((ai+b)/m)^q も一緒に計算していくことで行列積とみなせる．
	// クロネッカー積分解を考えることで計算量を落とせる．

	if (n <= 0) return T_apfs(0);

	Assert(m != 0);

	if (m < 0) {
		m = -m;
		a = -a;
		b = -b;
	}

	ex_apfs = P;
	ey_apfs = Q;

	S_apfs f;
	repi(i, 0, P) f.v[i * (Q + 1) + Q] = bin_apfs[P][i];
	f.f = T_apfs(1);

	S_apfs g;
	repi(i, 1, Q) g.v[(P + 1) * (Q + 1) - 1 - i] = bin_apfs[Q][i];
	g.g = T_apfs(1);

	// a < 0 のときは Σi∈[0..n) i^P (-floor((a i + b) / m))^Q を求め，後で (-1)^Q 倍する．
	if (a < 0) b = m - T(1) - b;

	T br = smod(b, m);
	T bq = (b - br) / m;

	// (0, b/m) → (n-1, (a(n-1)+b)/m) の移動に対応する行列積を計算する．
	auto h = multiple_along_line<ll, S_apfs, op_apfs, e_apfs>(n - 1, m, abs(a), br, f, g);

	// (0, 0) → (0, b/m) の移動に対応する行列を右から掛ける．
	T_apfs res(0); T_apfs bq_pow(1);
	repi(i, 0, Q) {
		res += h.v[i] * bq_pow;
		if (i < Q) bq_pow *= bq;
	}
	if (P == 0) res += bq_pow;

	if ((a < 0) && (Q & 1)) res *= T_apfs(-1);

	return res;
}


//【切り捨て除算】O(1)
/*
* a, b の正負によらず，数学的な floor(a / b) を返す．
*/
template <class T>
T floor_div(T a, T b) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/abc315/tasks/abc315_g

	Assert(b != 0);

	// 分母が負の場合は，分子と分母に -1 を掛けて分母を正にする．
	if (b < 0) { a *= -1; b *= -1; };

	// 分子が非負の場合は，a / b で切り捨てになる．
	if (a >= 0) return a / b;
	// 分子が負の場合は，左右反転して切り上げ商を計算し，再度左右反転する．
	else return -((-a + b - 1) / b);
}


mint naive(ll n, ll m, ll a, ll b, int ex, int ey) {
	mint res = 0;

	rep(x, n) {
		ll y = floor_div(a * x + b, m);

		res += mint(x).pow(ex) * mint(y).pow(ey);
	}

	return res;
}


void Main() {
	ll n, m, a, b; int p, q;
	cin >> p >> q >> n >> m >> a >> b;

	dump(naive(n + 1, m, a, b, p, q)); dump("-----");

	cout << arithmetic_powered_floor_sum<ll>(n + 1, m, a, b, p, q) << "\n";
}


void make_worstcase() {
	mt19937_64 mt((int)time(NULL));
	uniform_int_distribution<ll> rndN((ll)1e9 - (ll)1e8, (ll)1e9);
	uniform_int_distribution<ll> rndB(-(ll)1e9, (ll)1e9);

	int T = 5000;

	cout << T << endl;
	rep(hoge, T) {
		int p = 2;
		int q = 2;
		ll N = rndN(mt);
		ll M = 433494437;
		ll A = -701408733;
		ll B = rndB(mt);

		cout << p << " " << q << " " << N << " " << M << " " << A << " " << B << endl;
	}

	exit(0);
}


void bug_find() {
#ifdef _MSC_VER
	// 合わない入力例を見つける．

	mute_dump = true;

	mt19937_64 mt;
	mt.seed(0);
	uniform_int_distribution<ll> rnd(0LL, 1LL << 60);

	rep(hoge, 10000) {
		ll n = rnd(mt) % 100;
		ll m = rnd(mt) % 101 - 50;
		ll a = rnd(mt) % 101 - 50;
		ll b = rnd(mt) % 101 - 50;
		int ex = rnd(mt) % 10;
		int ey = rnd(mt) % 10;
		if (m == 0) continue;

		auto res_naive = naive(n, m, a, b, ex, ey);
		auto res_solve = arithmetic_powered_floor_sum<ll>(n, m, a, b, ex, ey);

		if (res_naive != res_solve) {
			cout << "----------error!----------" << endl;
			cout << "input:" << endl;
			cout << n << " " << m << " " << a << " " << b << " " << ex << " " << ey << endl;
			cout << "results:" << endl;
			cout << res_naive << endl;
			cout << res_solve << endl;
			cout << "--------------------------" << endl;
		}
	}

	mute_dump = false;
	exit(0);
#endif
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

//	make_worstcase();

//	bug_find();

	int t = 1;
	cin >> t; // マルチテストケースの場合

	while (t--) {
		dump("------------------------------");
		Main();
	}	
}