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問題 No.1321 塗るめた
ユーザー tsutaj
提出日時 2020-12-11 00:41:29
言語 C++14
(gcc 13.3.0 + boost 1.87.0)
結果
AC  
実行時間 478 ms / 2,000 ms
コード長 9,952 bytes
コンパイル時間 1,647 ms
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実行使用メモリ 38,684 KB
最終ジャッジ日時 2024-09-19 21:14:11
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（参考情報） 		judge2 / judge4
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// tester: tsutaj
// 今回数えたいものは、以下で示すものと一対一に対応が取れる
// 以下の手続きで得られる数列は何通りか？ただし、1. で選ぶ整数の集合が異なったり、2. で選ぶ長さ L が異なれば区別するものとする
// 1. K 個の相異なる 1 以上 M 以下の整数を選び、a_1, ..., a_K とする (要素の順番は問わない)
// 2. 長さ L (K <= L <= N) であって、a_1, ..., a_K それぞれについて少なくとも存在するような、a_1, ..., a_K のみからなる数列 X を用意する
// 3. X に、1 以上 M 以下の整数を N - L 個挿入する
// - 長さ L のときの 2. の通り数を W_L[通り] と置く
// - 1. は単に binom(M, K) に等しい
// - 3. は L+1 個の箱に N-L 個の玉を、重複を許して入れる通り数に pow(M, N-L) を乗じたものに等しい
// よって、答えは \sum_{L=K}^{N} W_L * binom(M, K) * binom(N, L) * pow(M, N-L) である
// 問題は W_L をどのように求めるかである
// まず愚直 (二乗) の DP を考え、dp[k][i] := 長さが i であって k 種類の値からなる数列の場合の数 とする
// dp[k][i] = dp[k][i-1]*k + dp[k-1][i-1]*(K-k+1) となる
// ここで F(k) を種類数 = k のときの多項式とすると、
// F(k) = F(k)*k*x + F(k-1)*(K-k+1)*x となり、式変形すると
// F(k) = F(k-1)*(K-k+1)*x / (1-k*x)
// 即ち F(k) = (K!)*(x^K) / \Pi_{k=1}^{K}(1-k*x) となる
// 多項式の乗除算ができればこれを計算することができる (雑にやって O(N log^2 N))
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <utility>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
#include <complex>
#include <cmath>
#include <limits>
#include <cfloat>
#include <climits>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <numeric>
#include <fstream>
#include <functional>
#include <bitset>
using namespace std;
using ll = long long int;
using int64 = long long int;
 
template<typename T> void chmax(T &a, T b) {a = max(a, b);}
template<typename T> void chmin(T &a, T b) {a = min(a, b);}
template<typename T> void chadd(T &a, T b) {a = a + b;}
 
int dx[] = {0, 0, 1, -1};
int dy[] = {1, -1, 0, 0};
const int INF = 1LL << 29;
const ll LONGINF = 1LL << 60;
const ll MOD = 998244353LL;
//BEGIN CUT HERE
template<typename T, T MOD = 1000000007>
struct Mint{
  static constexpr T mod = MOD;
  T v;
  Mint():v(0){}
  Mint(signed v):v(v){}
  Mint(long long t){v=t%MOD;if(v<0) v+=MOD;}
  Mint pow(long long k){
    Mint res(1),tmp(v);
    while(k){
      if(k&1) res*=tmp;
      tmp*=tmp;
      k>>=1;
    }
    return res;
  }
  static Mint add_identity(){return Mint(0);}
  static Mint mul_identity(){return Mint(1);}
  Mint inv(){return pow(MOD-2);}
  Mint& operator+=(Mint a){v+=a.v;if(v>=MOD)v-=MOD;return *this;}
  Mint& operator-=(Mint a){v+=MOD-a.v;if(v>=MOD)v-=MOD;return *this;}
  Mint& operator*=(Mint a){v=1LL*v*a.v%MOD;return *this;}
  Mint& operator/=(Mint a){return (*this)*=a.inv();}
  Mint operator+(Mint a) const{return Mint(v)+=a;}
  Mint operator-(Mint a) const{return Mint(v)-=a;}
  Mint operator*(Mint a) const{return Mint(v)*=a;}
  Mint operator/(Mint a) const{return Mint(v)/=a;}
  Mint operator-() const{return v?Mint(MOD-v):Mint(v);}
  bool operator==(const Mint a)const{return v==a.v;}
  bool operator!=(const Mint a)const{return v!=a.v;}
  bool operator <(const Mint a)const{return v <a.v;}
  static Mint comb(long long n,int k){
    Mint num(1),dom(1);
    for(int i=0;i<k;i++){
      num*=Mint(n-i);
      dom*=Mint(i+1);
    }
    return num/dom;
  }
};
template<typename T, T MOD> constexpr T Mint<T, MOD>::mod;
template<typename T, T MOD>
ostream& operator<<(ostream &os,Mint<T, MOD> m){os<<m.v;return os;}
constexpr int bmds(int x){
  const int v[] = {1012924417, 924844033, 998244353,
                   897581057, 645922817};
  return v[x];
}
constexpr int brts(int x){
  const int v[] = {5, 5, 3, 3, 3};
  return v[x];
}
template<int X>
struct NTT{
  static constexpr int md = bmds(X);
  static constexpr int rt = brts(X);
  using M = Mint<ll, md>;
  vector< vector<M> > rts,rrts;
  void ensure_base(int n){
    if((int)rts.size()>=n) return;
    rts.resize(n);rrts.resize(n);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
      if(!rts[i].empty()) continue;
      M w=M(rt).pow((md-1)/(i<<1));
      M rw=w.inv();
      rts[i].resize(i);rrts[i].resize(i);
      rts[i][0]=M(1);rrts[i][0]=M(1);
      for(int k=1;k<i;k++){
        rts[i][k]=rts[i][k-1]*w;
        rrts[i][k]=rrts[i][k-1]*rw;
      }
    }
  }
  void ntt(vector<M> &as,bool f){
    int n=as.size();
    assert((n&(n-1))==0);
    ensure_base(n);
    for(int i=0,j=1;j+1<n;j++){
      for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
      if(i>j) swap(as[i],as[j]);
    }
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
      for(int j=0;j<n;j+=i*2){
        for(int k=0;k<i;k++){
          M z=as[i+j+k]*(f?rrts[i][k]:rts[i][k]);
          as[i+j+k]=as[j+k]-z;
          as[j+k]+=z;
        }
      }
    }
    if(f){
      M tmp=M(n).inv();
      for(int i=0;i<n;i++) as[i]*=tmp;
    }
  }
  vector<M> multiply(vector<M> as,vector<M> bs){
    int need=as.size()+bs.size()-1;
    int sz=1;
    while(sz<need) sz<<=1;
    as.resize(sz,M(0));
    bs.resize(sz,M(0));
    ntt(as,0);ntt(bs,0);
    for(int i=0;i<sz;i++) as[i]*=bs[i];
    ntt(as,1);
    as.resize(need);
    return as;
  }
  vector<int> multiply(vector<int> as,vector<int> bs){
    vector<M> am(as.size()),bm(bs.size());
    for(int i=0;i<(int)am.size();i++) am[i]=M(as[i]);
    for(int i=0;i<(int)bm.size();i++) bm[i]=M(bs[i]);
    vector<M> cm=multiply(am,bm);
    vector<int> cs(cm.size());
    for(int i=0;i<(int)cs.size();i++) cs[i]=cm[i].v;
    return cs;
  }
};
template<int X> constexpr int NTT<X>::md;
template<int X> constexpr int NTT<X>::rt;
//BEGIN CUT HERE
template<typename M_>
class Enumeration{
  using M = M_;
protected:
  static vector<M> fact,finv,invs;
public:
  static void init(int n){
    n=min<decltype(M::mod)>(n,M::mod-1);
    int m=fact.size();
    if(n<m) return;
    fact.resize(n+1,1);
    finv.resize(n+1,1);
    invs.resize(n+1,1);
    if(m==0) m=1;
    for(int i=m;i<=n;i++) fact[i]=fact[i-1]*M(i);
    finv[n]=M(1)/fact[n];
    for(int i=n;i>=m;i--) finv[i-1]=finv[i]*M(i);
    for(int i=m;i<=n;i++) invs[i]=finv[i]*fact[i-1];
  }
  static M Fact(int n){
    init(n);
    return fact[n];
  }
  static M Finv(int n){
    init(n);
    return finv[n];
  }
  static M Invs(int n){
    init(n);
    return invs[n];
  }
  static M C(int n,int k){
    if(n<k or k<0) return M(0);
    init(n);
    return fact[n]*finv[n-k]*finv[k];
  }
  static M P(int n,int k){
    if(n<k or k<0) return M(0);
    init(n);
    return fact[n]*finv[n-k];
  }
  // put n identical balls into k distinct boxes
  static M H(int n,int k){
    if(n<0 or k<0) return M(0);
    if(!n and !k) return M(1);
    init(n+k);
    return C(n+k-1,n);
  }
};
template<typename M>
vector<M> Enumeration<M>::fact=vector<M>();
template<typename M>
vector<M> Enumeration<M>::finv=vector<M>();
template<typename M>
vector<M> Enumeration<M>::invs=vector<M>();
template<typename M_>
struct FormalPowerSeries : Enumeration<M_> {
  using M = M_;
  using super = Enumeration<M>;
  using super::fact;
  using super::finv;
  using super::invs;
  using Poly = vector<M>;
  using Conv = function<Poly(Poly, Poly)>;
  Conv conv;
  FormalPowerSeries(Conv conv):conv(conv){}
  Poly pre(const Poly &as,int deg){
    return Poly(as.begin(),as.begin()+min((int)as.size(),deg));
  }
  Poly add(Poly as,Poly bs){
    int sz=max(as.size(),bs.size());
    Poly cs(sz,M(0));
    for(int i=0;i<(int)as.size();i++) cs[i]+=as[i];
    for(int i=0;i<(int)bs.size();i++) cs[i]+=bs[i];
    return cs;
  }
  Poly sub(Poly as,Poly bs){
    int sz=max(as.size(),bs.size());
    Poly cs(sz,M(0));
    for(int i=0;i<(int)as.size();i++) cs[i]+=as[i];
    for(int i=0;i<(int)bs.size();i++) cs[i]-=bs[i];
    return cs;
  }
  Poly mul(Poly as,Poly bs){
    return conv(as,bs);
  }
  Poly mul(Poly as,M k){
    for(auto &a:as) a*=k;
    return as;
  }
  bool is_zero(Poly as){
    return as==Poly(as.size(),0);
  }
  void shrink(Poly &as){
    assert(not is_zero(as));
    while(as.back()==M(0)) as.pop_back();
  }
  // F(0) must not be 0
  Poly inv(Poly as,int deg);
  // not zero
  Poly div(Poly as,Poly bs);
  // not zero
  Poly mod(Poly as,Poly bs);
  // F(0) must be 1
  Poly sqrt(Poly as,int deg);
  Poly diff(Poly as);
  Poly integral(Poly as);
  // F(0) must be 1
  Poly log(Poly as,int deg);
  // F(0) must be 0
  Poly exp(Poly as,int deg);
  // not zero
  Poly pow(Poly as,long long k,int deg);
  // x <- x + c
  Poly shift(Poly as,M c);
};
template<typename M>
vector<M> FormalPowerSeries<M>::inv(Poly as,int deg){
  assert(as[0]!=M(0));
  Poly rs({M(1)/as[0]});
  for(int i=1;i<deg;i<<=1)
    rs=pre(sub(add(rs,rs),mul(mul(rs,rs),pre(as,i<<1))),i<<1);
  return rs;
}
int main() {
    int N, M, K; cin >> N >> M >> K;
    NTT<2> ntt;
    using mint = NTT<2>::M;
    auto conv = [&](auto as, auto bs) { return ntt.multiply(as, bs); };
    FormalPowerSeries<mint> FPS(conv);
    Enumeration<mint> comb;
    comb.init(200010);
    
    auto go = [&](auto &&self, int l, int r) -> vector<mint> {
        if(r - l == 1) {
            return {mint(1), mint(-r)};
        }
        int m = (l + r) / 2;
        return ntt.multiply(self(self, l, m), self(self, m, r));
    };
    vector<mint> A(K+1);
    A[K] = mint(1);
    for(int i=1; i<=K; i++) A[K] *= mint(i);
    vector<mint> B = FPS.inv(go(go, 0, K), N+1);
    vector<mint> X = ntt.multiply(A, B);
    mint ans(0);
    for(int i=K; i<=N; i++) {
        mint ways = X[i];
        ways *= comb.C(M, K);
        ways *= comb.C(N, i) * mint(M).pow(N-i);
        ans += ways;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}
הההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההה
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
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