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問題 No.2191 一元二次式 mod 奇素数
ユーザー tokusakuraitokusakurai
提出日時 2023-01-13 22:15:23
言語 C++17
(gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果
AC  
実行時間 10 ms / 2,000 ms
コード長 5,988 bytes
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最終ジャッジ日時 2024-06-06 23:01:14
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ソースコード

diff # 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); i++)
#define per(i, n) for (int i = (n)-1; i >= 0; i--)
#define rep2(i, l, r) for (int i = (l); i < (r); i++)
#define per2(i, l, r) for (int i = (r)-1; i >= (l); i--)
#define each(e, v) for (auto &e : v)
#define MM << " " <<
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define all(x) begin(x), end(x)
#define rall(x) rbegin(x), rend(x)
#define sz(x) (int)x.size()
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;
using pil = pair<int, ll>;
using pli = pair<ll, int>;
using pll = pair<ll, ll>;

template <typename T>
using minheap = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;

template <typename T>
using maxheap = priority_queue<T>;

template <typename T>
bool chmax(T &x, const T &y) {
    return (x < y) ? (x = y, true) : false;
}

template <typename T>
bool chmin(T &x, const T &y) {
    return (x > y) ? (x = y, true) : false;
}

template <typename T>
int flg(T x, int i) {
    return (x >> i) & 1;
}

template <typename T>
void print(const vector<T> &v, T x = 0) {
    int n = v.size();
    for (int i = 0; i < n; i++) cout << v[i] + x << (i == n - 1 ? '\n' : ' ');
    if (v.empty()) cout << '\n';
}

template <typename T>
void printn(const vector<T> &v, T x = 0) {
    int n = v.size();
    for (int i = 0; i < n; i++) cout << v[i] + x << '\n';
}

template <typename T>
int lb(const vector<T> &v, T x) {
    return lower_bound(begin(v), end(v), x) - begin(v);
}

template <typename T>
int ub(const vector<T> &v, T x) {
    return upper_bound(begin(v), end(v), x) - begin(v);
}

template <typename T>
void rearrange(vector<T> &v) {
    sort(begin(v), end(v));
    v.erase(unique(begin(v), end(v)), end(v));
}

template <typename T>
vector<int> id_sort(const vector<T> &v, bool greater = false) {
    int n = v.size();
    vector<int> ret(n);
    iota(begin(ret), end(ret), 0);
    sort(begin(ret), end(ret), [&](int i, int j) { return greater ? v[i] > v[j] : v[i] < v[j]; });
    return ret;
}

template <typename S, typename T>
pair<S, T> operator+(const pair<S, T> &p, const pair<S, T> &q) {
    return make_pair(p.first + q.first, p.second + q.second);
}

template <typename S, typename T>
pair<S, T> operator-(const pair<S, T> &p, const pair<S, T> &q) {
    return make_pair(p.first - q.first, p.second - q.second);
}

template <typename S, typename T>
istream &operator>>(istream &is, pair<S, T> &p) {
    S a;
    T b;
    is >> a >> b;
    p = make_pair(a, b);
    return is;
}

template <typename S, typename T>
ostream &operator<<(ostream &os, const pair<S, T> &p) {
    return os << p.first << ' ' << p.second;
}

struct io_setup {
    io_setup() {
        ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(NULL);
        cout << fixed << setprecision(15);
    }
} io_setup;

const int inf = (1 << 30) - 1;
const ll INF = (1LL << 60) - 1;
// const int MOD = 1000000007;
const int MOD = 998244353;

struct Random_Number_Generator {
    mt19937_64 mt;

    Random_Number_Generator() : mt(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count()) {}

    // [l,r) での一様乱数
    int64_t operator()(int64_t l, int64_t r) {
        uniform_int_distribution<int64_t> dist(l, r - 1);
        return dist(mt);
    }

    // [0,r) での一様乱数
    int64_t operator()(int64_t r) { return (*this)(0, r); }
} rng;

long long modpow(long long x, long long n, const int &m) {
    x %= m;
    long long ret = 1;
    for (; n > 0; n >>= 1, x *= x, x %= m) {
        if (n & 1) ret *= x, ret %= m;
    }
    return ret;
}

template <typename T>
T modinv(T a, const T &m) {
    T b = m, u = 1, v = 0;
    while (b > 0) {
        T t = a / b;
        swap(a -= t * b, b);
        swap(u -= t * v, v);
    }
    return u >= 0 ? u % m : (m - (-u) % m) % m;
}

// オイラーの φ 関数 (x と m が互いに素ならば、x^φ(m) ≡ 1 (mod m))
template <typename T>
T Euler_totient(T m) {
    T ret = m;
    for (T i = 2; i * i <= m; i++) {
        if (m % i == 0) ret /= i, ret *= i - 1;
        while (m % i == 0) m /= i;
    }
    if (m > 1) ret /= m, ret *= m - 1;
    return ret;
}

// x^k ≡ y (mod m) となる最小の非負整数 k (存在しなければ -1)
int modlog(int x, int y, int m, int max_ans = -1) {
    if (max_ans == -1) max_ans = m;
    long long g = 1;
    for (int i = m; i > 0; i >>= 1) g *= x, g %= m;
    g = gcd(g, m);
    int c = 0;
    long long t = 1;
    for (; t % g != 0; c++) {
        if (t == y) return c;
        t *= x, t %= m;
    }
    if (y % g != 0) return -1;
    t /= g, y /= g, m /= g;
    int n = 0;
    long long gs = 1;
    for (; n * n < max_ans; n++) gs *= x, gs %= m;
    unordered_map<int, int> mp;
    long long e = y;
    for (int i = 0; i < n; mp[e] = ++i) e *= x, e %= m;
    e = t;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        e *= gs, e %= m;
        if (mp.count(e)) return c + n * (i + 1) - mp[e];
    }
    return -1;
}

// x^k ≡ 1 (mod m) となる最小の正整数 k (x と m は互いに素)
template <typename T>
T order(T x, const T &m) {
    T n = Euler_totient(m);
    vector<T> ds;
    for (T i = 1; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) ds.push_back(i), ds.push_back(n / i);
    }
    sort(begin(ds), end(ds));
    for (auto &e : ds) {
        if (modpow(x, e, m) == 1) return e;
    }
    return -1;
}

// 素数 p の原始根
template <typename T>
T primitive_root(const T &p) {
    vector<T> ds;
    for (T i = 1; i * i <= p - 1; i++) {
        if ((p - 1) % i == 0) ds.push_back(i), ds.push_back((p - 1) / i);
    }
    sort(begin(ds), end(ds));
    while (true) {
        T r = rng(1, p);
        for (auto &e : ds) {
            if (e == p - 1) return r;
            if (modpow(r, e, p) == 1) break;
        }
    }
}

int main() {
    ll P;
    cin >> P;

    ll K = (P - 1) / 2;
    ll x = K * K + 4 * K + 2;
    x %= P;

    ll y = (P + 3) / 2;
    y *= y;
    y %= P;

    ll z = (y + P - x) % P;

    ll r = primitive_root(P);
    ll k = modlog(r, z, P);

    cout << (k & 1 ? "NO\n" : "YES\n");
}
0