結果

問題 No.981 一般冪乗根
ユーザー ecottea
提出日時 2023-03-14 16:08:47
言語 C++17
(gcc 13.3.0 + boost 1.87.0)
結果
AC  
実行時間 4,569 ms / 6,000 ms
コード長 19,392 bytes
コンパイル時間 4,406 ms
コンパイル使用メモリ 274,072 KB
最終ジャッジ日時 2025-02-11 11:12:44
ジャッジサーバーID
（参考情報） 		judge4 / judge1
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ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-12;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_list2D(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

//using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
using mint = modint; // mint::set_mod(m);

istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
#endif


//【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
/*
* 有限体 F_p 上ので様々な計算を行う．
* mll::set_mod(ll p) はあらゆる場所で使う法を書き換えてしまうので注意．
*
* 制約 : p は素数，コンパイラは gcc
*/
#ifdef _MSC_VER
#define __int128 ll // デバッグ用
#endif
struct mll {
	__int128 v;
	inline static __int128 MOD;

	// コンストラクタ
	mll() : v(0) {};
	mll(const mll& a) = default;
	mll(const int& a) : v(safe_mod(a)) {};
	mll(const ll& a) : v(safe_mod(a)) {};

	// 代入
	mll& operator=(const mll& a) { v = a.v; return *this; }
	mll& operator=(const int& a) { v = safe_mod(a); return *this; }
	mll& operator=(const ll& a) { v = safe_mod(a); return *this; }

	// 入出力
	friend istream& operator>>(istream& is, mll& x) { ll tmp; is >> tmp; x.v = safe_mod(tmp); return is; }
	friend ostream& operator<<(ostream& os, const mll& x) { os << (ll)x.v; return os; }

	// 非負 mod
	template <class T> static __int128 safe_mod(T a) { return ((a % MOD) + MOD) % MOD; }

	// 比較
	bool operator==(const mll& b) const { return v == b.v; }
	bool operator==(const int& b) const { return v == safe_mod(b); }
	bool operator==(const ll& b) const { return v == safe_mod(b); }
	friend bool operator==(const int& a, const mll& b) { return b == a; }
	friend bool operator==(const ll& a, const mll& b) { return b == a; }

	// 演算
	mll& operator+=(const mll& b) { v = safe_mod(v + b.v); return *this; }
	mll& operator-=(const mll& b) { v = safe_mod(v - b.v); return *this; }
	mll& operator*=(const mll& b) { v = safe_mod(v * b.v); return *this; }
	mll& operator/=(const mll& b) { *this *= b.inv(); return *this; }
	mll operator+(const mll& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const mll& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const mll& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const mll& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
	mll operator-() const { mll a = *this; return a *= -1; }

	// int との演算
	mll& operator+=(const int& b) { v = safe_mod(v + b); return *this; }
	mll& operator-=(const int& b) { v = safe_mod(v - b); return *this; }
	mll& operator*=(const int& b) { v = safe_mod(v * b); return *this; }
	mll& operator/=(const int& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; }
	mll operator+(const int& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const int& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const int& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const int& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
	friend mll operator+(const int& a, const mll& b) { return b + a; }
	friend mll operator-(const int& a, const mll& b) { return -(b - a); }
	friend mll operator*(const int& a, const mll& b) { return b * a; }
	friend mll operator/(const int& a, const mll& b) { return mll(a) * b.inv(); }

	// ll との演算
	mll& operator+=(const ll& b) { v = safe_mod(v + b); return *this; }
	mll& operator-=(const ll& b) { v = safe_mod(v - b); return *this; }
	mll& operator*=(const ll& b) { v = safe_mod(v * b); return *this; }
	mll& operator/=(const ll& b) { *this *= mll(b).inv(); return *this; }
	mll operator+(const ll& b) const { mll a = *this; return a += b; }
	mll operator-(const ll& b) const { mll a = *this; return a -= b; }
	mll operator*(const ll& b) const { mll a = *this; return a *= b; }
	mll operator/(const ll& b) const { mll a = *this; return a /= b; }
	friend mll operator+(const ll& a, const mll& b) { return b + a; }
	friend mll operator-(const ll& a, const mll& b) { return -(b - a); }
	friend mll operator*(const ll& a, const mll& b) { return b * a; }
	friend mll operator/(const ll& a, const mll& b) { return mll(a) * b.inv(); }

	// 累乗
	mll pow(ll d) const {
		mll res(1), pow2 = *this;
		while (d > 0) {
			if (d & 1) res *= pow2;
			pow2 *= pow2;
			d /= 2;
		}
		return res;
	}

	// 逆元
	mll inv() const { return pow(MOD - 2); }

	// 法の設定，確認
	static void set_mod(ll MOD_) { Assert(MOD_ > 0); MOD = MOD_; }
	static ll mod() { return (ll)MOD; }

	// 値の確認
	ll val() const { return (ll)safe_mod(v); }
};


//【素数判定】O((log n)^3)
/*
* n が素数かを返す．
*
* 利用：【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
*/
bool miller_rabin(ll n) {
	// 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/prime/fast-factorize.hpp.html
	// verify : https://algo-method.com/tasks/513

	//【方法】
	// p を奇素数とすると，任意の a=[1..p) についてフェルマーの小定理より
	//		a^(p-1) = 1 (mod p)
	// となる．これの平方根を考えていくと，
	//		p-1 = 2^s d　（d : 奇数）
	// と表せば，
	//		a^d = 1 (mod p) or ∃r=[0..s), a^(2^r d) = -1 (mod p)
	// と書き直せる．
	// 
	// この対偶を用いて判定することをランダムに選んだ a で繰り返す．
	// n の範囲を限定するなら擬素数を生じない a を固定的に選べる．

	const vl as = { 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022 };

	if (n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 13 || n == 19 || n == 73 || n == 193
		|| n == 407521 || n == 299210837) return true;
	if (n == 1 || n % 2 == 0) return false;

	mll::set_mod(n);
	int s = 0; ll d = n - 1;
	while (d % 2 == 0) {
		s++;
		d /= 2;
	}

	repe(a, as) {
		mll powa = mll(a).pow(d);
		if (powa == 1 || powa == -1) goto LOOP_END;
		rep(r, s - 1) {
			powa *= powa;
			if (powa == 1) return false;
			if (powa == -1) goto LOOP_END;
		}
		return false;

	LOOP_END:;
	}

	return true;
}


//【約数検出】O(n^(1/4))
/*
* n の真の約数を何か 1 つ返す（なければ n を返す）
*
* 利用：【有限体 F_p 上の計算（64 bit）】
*/
ll pollard_rho(ll n) {
	// 参考 : https://qiita.com/Kiri8128/items/eca965fe86ea5f4cbb98
	// verify : https://algo-method.com/tasks/553

	//【方法】
	// 適当な定数 c をとり関数 f : Z/nZ → Z/nZ を
	//		f(x) = x^2 + c
	// と定める．
	//
	// 適当な初期値 x[0] = y[0] (= 2) から始め，Z/nZ 上の数列を漸化式
	//		x[i+1] = f(x[i]), y[i+1] = f(f(y[i]))
	// で定める．フロイドの循環検出法より，もし
	//		gcd(x[i] - y[i], n) = g ∈ [2..n-1]
	// であれば，これは f が Z/gZ（g は n の真の約数）で巡回したことを意味する．
	//
	// 実際には，
	//		x は r = (2 冪) 個ずつ進める（定数 1/2 倍）
	//		gcd の計算を m = n^(1/8) 程度個まとめて行う（gcd の log を落とす）
	// ことにより高速化を図る．

	if (!(n & 1)) return 2;

	int m = 1 << (msb(n) / 8);
	mll::set_mod(n); // n は合成数だが割り算は使わないので問題ない

	const int c_max = 99; // c を最大どこまで試すか
	repi(c, 1, c_max) {
		auto f = [&](mll x) { return x * x + c; };

		mll x, y = 2, y_bak;
		ll g = 1;
		int r = 1;

		// g = 1 である間は巡回未検出
		while (g == 1) {
			// x, y を r = 2^i だけ一気に進める．
			x = y;
			rep(hoge, r) y = f(y);

			// 次の r = 2^i 個をまとめて見る．
			for (int k = 0; k < r; k += m) {
				// 一気に掛けすぎて g = n となってしまった場合の復元用
				y_bak = y;

				// m 個ごとにまとめて見る．
				mll mul = 1;
				rep(i, min(m, r - k)) {
					y = f(y);

					// 複数個掛けておき，後でまとめて gcd を計算する．
					//（フロイドの循環検出法とは違い x を固定しているが，
					// 巡回は検出できるので問題ない．）
					mul *= x - y;
				}
				g = gcd(mul.val(), n);

				// g != 1 なら巡回を検出できたので次の処理へ
				if (g != 1) goto LOOP_END;
			}

			r *= 2;
		}

	LOOP_END:;
		// 一気に掛けすぎて g = n となってしまった（であろう）場合
		if (g == n) {
			// 復元用に残しておいた x, y_bak から再スタート
			g = 1;
			while (g == 1) {
				y_bak = f(y_bak);
				g = gcd((x - y_bak).val(), n);
			}
		}

		// g < n なら g が n の真の約数なのでそれを返す．
		if (g < n) return g;

		// 本当に g = n ならたまたま真の約数が全て同時検出されてしまったので，
		// 関数 f における定数項 c の値を別のものに取り替えて再挑戦．
	}

	// 複数個の c を試してなお失敗したなら諦める．
	return n;
}


//【素因数分解】O(n^(1/4))
/*
* n を素因数分解した結果を pps に格納し pps を返す．
* pps[p] = d : n に素因数 p が d 個含まれていることを表す．
*
* 利用：【素数判定】,【約数検出】
*/
map<ll, int> factor_integer(ll n) {
	// verify : https://algo-method.com/tasks/553

	map<ll, int> pps;
	if (n == 1) return map<ll, int>();

	// 検出した約数を記録しておくキュー
	queue<ll> divs;
	divs.push(n);

	while (!divs.empty()) {
		ll d = divs.front();
		divs.pop();

		// 約数が素数なら素因数発見
		if (miller_rabin(d)) {
			pps[d]++;
		}
		// 約数が合成数なら新たな約数を 2 つ発見する
		else {
			ll d1 = pollard_rho(d);
			ll d2 = d / d1;
			divs.push(d1);
			divs.push(d2);
		}
	}

	return pps;
}


//【約数列挙】O(n^(1/4))
/*
* n の約数全てを昇順に格納したリストを返す．
*
* 利用：【素因数分解】
*/
vl divisors(ll n) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/chokudai_S002/tasks/chokudai_S002_j

	Assert(n > 0);

	map<ll, int> pps = factor_integer(n);

	vl divs{ 1 };
	repe(pp, pps) {
		ll p; int d;
		tie(p, d) = pp;

		vl powp(d);
		powp[0] = p;
		rep(i, d - 1) powp[i + 1] = powp[i] * p;

		int m = sz(divs);
		repir(j, m - 1, 0) {
			rep(i, d) {
				divs.push_back(divs[j] * powp[i]);
			}
		}
	}

	sort(all(divs));

	return divs;
}


//【原始根】O(√p)
/*
* 素数の法 p における最小の原始根を返す．
*
* 利用：【約数列挙】
*/
int find_primitive_root() {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/agc047/tasks/agc047_c

	const int p = mint::mod();
	if (p == 2) return 1;

	// p - 1 の約数 divs を得る．
	vl divs = divisors(p - 1);

	// p - 1 自身だけ削除する．
	divs.pop_back();

	repi(r, 2, p - 1) {
		// p - 1 の真の約数が全て r の位数でないなら原始根
		repe(d, divs) if (mint(r).pow(d) == 1) goto NEXT_LOOP;

		return r;
	NEXT_LOOP:;
	}

	return -1;
}


//【離散対数問題（法が素数）】O(√p)
/*
* a^x ≡ b (mod p) の最小解 x >= 0 を返す．（なければ INF）
*
* 制約 : p = mint::mod() は素数
*
*（baby-step giant-step）
*/
int log(mint a, mint b) {
	// 参考：https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/baby-step-giant-step.html

	//【方法】
	// m = ceil(√p)，r = a^(-m) とおく．
	// 
	// まず x∈[0..m) について a^x を計算した集合 S を得る．（計算量 O(m)）
	// S の中に b に一致するものがあればそれでよい．
	// なかった場合は x >= m であることが確定する．
	// 
	// 次に解くべき方程式
	//		a^x = b
	// の両辺に r = a^(-m) を掛けて
	//		a^(x-m) = b r
	// とする．
	// もし S の中に b r に一致するものがあれば，そこから x-m が分かり，
	// その結果に m を加えたものが求める x の値である．
	// なかった場合は x >= 2 m であることが確定する．
	//
	// この調子で S の中に b, b r, b r^2, ... があるかどうかを調べていく．
	// a^(mod - 1) = 1 なので，同様のステップは高々 m 回で終了する．
	// 各回の S へのアクセスが O(1) で行えるなら，全体計算量は O(m) である．

	int m = (int)(ceil(sqrt(mint::mod())) + 1);

	// a = 0 の場合の例外処理
	if (a == 0) {
		if (b == 0) return 1; // 0^0 = 1 とする．
		else return -1;
	}

	// loga[a^i] = i を計算しておく．
	unordered_map<int, int> loga;
	mint a_pow = a.pow(m), a_inv = a.inv();
	repir(i, m - 1, 0) {
		a_pow *= a_inv;
		loga[a_pow.val()] = i;
	}

	// r = a^(-m)
	mint r = a_inv.pow(m);

	// 方程式の両辺に r = a^(-m) を掛けながら解を探していく．
	rep(i, m) {
		if (loga.count(b.val())) {
			return m * i + loga[b.val()];
		}
		b *= r;
	}

	// 見つからなかったら INF を返す．
	return INF;
}


//【拡張ユークリッドの互除法】O(log max(|a|, |b|))
/*
* g = gcd(a, b) > 0 を返しつつ，a x + b y = g の解 (x, y) を求める．
* |x| + |y| は最小になるよう選ばれる．
*/
ll extended_gcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y) {
	// 参考：https://qiita.com/drken/items/b97ff231e43bce50199a
	// verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/library/6/NTL/all/NTL_1_E

	//【方法】
	// b = 0 の場合は，明らかに g = a で，(x, y) = (1, 0) が解である．
	// 
	// b != 0 の場合を考える．a を b で割り
	//		a = q b + r (0 <= r < b)
	// なる q, r を得ておく．これを元の式に代入すると
	//		(q b + r) x + b y = g
	//		⇔ b (q x + y) + r x = g
	// となるので，
	//		b X + r Y = g
	// の解 (X, Y) = (q x + y, x) を求めれば
	//		(x, y) = (Y, X - q Y)
	// として元の式の解が得られる．これを再帰的に繰り返す．

	// b = 0 になったら自明解を返す．
	if (b == 0) {
		// 最大公約数は正とする．
		x = (a > 0) ? 1 : -1;
		y = 0;
		return a * x;
	}

	// a を b で割った商 q と余り r を求めておく．
	ll q = a / b, r = a % b;

	// a, b を更新し解 X, Y を得る．
	ll X, Y;
	ll d = extended_gcd(b, r, X, Y);

	// X, Y から x, y を得る．
	x = Y;
	y = X - q * Y;

	return d;
}


//【一次不定方程式】O(log max(|a|, |b|))
/*
* a x + b y = c の特殊解 (x, y) を求める．
* 解があれば gcd(a, b) > 0，なければ -1 を返す．
*
* 利用：【拡張ユークリッドの互除法】
*/
ll bezout(ll a, ll b, ll c, ll& x, ll& y) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_d

	ll g = extended_gcd(a, b, x, y);

	if (c % g != 0) return -1;

	x *= c / g;
	y *= c / g;

	// x を非負最小にしたければ，x = smod(x, b / g); y = (n - a * x) / b; とする．
	// y を非負最小にしたければ，y = smod(y, a / g); x = (n - b * y) / a; とする．
	// verify : https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_d

	return g;
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	int t;
	cin >> t;

	rep(hoge, t) {
		int p, k, a;
		cin >> p >> k >> a;

		mint::set_mod(p);

		// r^(p-1) = 1 (mod p), ∀d∈[2..p-1), r^d ≠ 1 (mod p)
		mint r = find_primitive_root();
		dump(r);

		// r^d = a
		int d = log(r, mint(a));
		dump(d);

		// r^(d + y(p-1)) = a なので d + y(p-1) ≡ 0 (mod k) なる y を見つけたい．
		// そのためには k x - (p-1) y = d を解けば良い．
		ll x, y;
		ll g = bezout(k, -(p - 1), d, x, y);
		dump(x, y, g);

		if (g > 0) {
			x = smod(x, (p - 1) / g);
			cout << r.pow(x) << "\n";
		}
		else cout << -1 << "\n";
	}
}
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