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問題 No.981 一般冪乗根
ユーザー ecottea
提出日時 2023-03-14 16:19:05
言語 C++17
(gcc 13.3.0 + boost 1.87.0)
結果
AC  
実行時間 4,950 ms / 6,000 ms
コード長 10,184 bytes
コンパイル時間 4,424 ms
コンパイル使用メモリ 262,300 KB
最終ジャッジ日時 2025-02-11 11:16:01
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（参考情報） 		judge4 / judge5
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ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-12;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_list2D(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

//using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
using mint = modint; // mint::set_mod(m);

istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
#endif


//【約数列挙】O(√n)
/*
* n の約数全てを昇順に格納したリストを返す．
*/
vl divisors(ll n) {
	// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2142

	vl ds;

	if (n == 1) {
		ds.push_back(1);
		return ds;
	}

	ll i = 1;
	for (; i * i < n; i++) {
		if (n % i == 0) {
			ds.push_back(i);
			ds.push_back(n / i);
		}
	}
	if (i * i == n) ds.push_back(i);

	sort(all(ds));

	return ds;
}


//【原始根】O(√p)
/*
* 素数の法 p における最小の原始根を返す．
*
* 利用：【約数列挙】
*/
int find_primitive_root() {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/agc047/tasks/agc047_c

	const int p = mint::mod();
	if (p == 2) return 1;

	// p - 1 の約数 divs を得る．
	vl divs = divisors(p - 1);

	// p - 1 自身だけ削除する．
	divs.pop_back();

	repi(r, 2, p - 1) {
		// p - 1 の真の約数が全て r の位数でないなら原始根
		repe(d, divs) if (mint(r).pow(d) == 1) goto NEXT_LOOP;

		return r;
	NEXT_LOOP:;
	}

	return -1;
}


//【離散対数問題（法が素数）】O(√p)
/*
* a^x ≡ b (mod p) の最小解 x >= 0 を返す．（なければ INF）
*
* 制約 : p = mint::mod() は素数
*
*（baby-step giant-step）
*/
int log(mint a, mint b) {
	// 参考：https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/baby-step-giant-step.html

	//【方法】
	// m = ceil(√p)，r = a^(-m) とおく．
	// 
	// まず x∈[0..m) について a^x を計算した集合 S を得る．（計算量 O(m)）
	// S の中に b に一致するものがあればそれでよい．
	// なかった場合は x >= m であることが確定する．
	// 
	// 次に解くべき方程式
	//		a^x = b
	// の両辺に r = a^(-m) を掛けて
	//		a^(x-m) = b r
	// とする．
	// もし S の中に b r に一致するものがあれば，そこから x-m が分かり，
	// その結果に m を加えたものが求める x の値である．
	// なかった場合は x >= 2 m であることが確定する．
	//
	// この調子で S の中に b, b r, b r^2, ... があるかどうかを調べていく．
	// a^(mod - 1) = 1 なので，同様のステップは高々 m 回で終了する．
	// 各回の S へのアクセスが O(1) で行えるなら，全体計算量は O(m) である．

	int m = (int)(ceil(sqrt(mint::mod())) + 1);

	// a = 0 の場合の例外処理
	if (a == 0) {
		if (b == 0) return 1; // 0^0 = 1 とする．
		else return -1;
	}

	// loga[a^i] = i を計算しておく．
	unordered_map<int, int> loga;
	mint a_pow = a.pow(m), a_inv = a.inv();
	repir(i, m - 1, 0) {
		a_pow *= a_inv;
		loga[a_pow.val()] = i;
	}

	// r = a^(-m)
	mint r = a_inv.pow(m);

	// 方程式の両辺に r = a^(-m) を掛けながら解を探していく．
	rep(i, m) {
		if (loga.count(b.val())) {
			return m * i + loga[b.val()];
		}
		b *= r;
	}

	// 見つからなかったら INF を返す．
	return INF;
}


//【拡張ユークリッドの互除法】O(log max(|a|, |b|))
/*
* g = gcd(a, b) > 0 を返しつつ，a x + b y = g の解 (x, y) を求める．
* |x| + |y| は最小になるよう選ばれる．
*/
ll extended_gcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y) {
	// 参考：https://qiita.com/drken/items/b97ff231e43bce50199a
	// verify : https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/courses/library/6/NTL/all/NTL_1_E

	//【方法】
	// b = 0 の場合は，明らかに g = a で，(x, y) = (1, 0) が解である．
	// 
	// b != 0 の場合を考える．a を b で割り
	//		a = q b + r (0 <= r < b)
	// なる q, r を得ておく．これを元の式に代入すると
	//		(q b + r) x + b y = g
	//		⇔ b (q x + y) + r x = g
	// となるので，
	//		b X + r Y = g
	// の解 (X, Y) = (q x + y, x) を求めれば
	//		(x, y) = (Y, X - q Y)
	// として元の式の解が得られる．これを再帰的に繰り返す．

	// b = 0 になったら自明解を返す．
	if (b == 0) {
		// 最大公約数は正とする．
		x = (a > 0) ? 1 : -1;
		y = 0;
		return a * x;
	}

	// a を b で割った商 q と余り r を求めておく．
	ll q = a / b, r = a % b;

	// a, b を更新し解 X, Y を得る．
	ll X, Y;
	ll d = extended_gcd(b, r, X, Y);

	// X, Y から x, y を得る．
	x = Y;
	y = X - q * Y;

	return d;
}


//【一次不定方程式】O(log max(|a|, |b|))
/*
* a x + b y = c の特殊解 (x, y) を求める．
* 解があれば gcd(a, b) > 0，なければ -1 を返す．
*
* 利用：【拡張ユークリッドの互除法】
*/
ll bezout(ll a, ll b, ll c, ll& x, ll& y) {
	// verify : https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_d

	ll g = extended_gcd(a, b, x, y);

	if (c % g != 0) return -1;

	x *= c / g;
	y *= c / g;

	// x を非負最小にしたければ，x = smod(x, b / g); y = (n - a * x) / b; とする．
	// y を非負最小にしたければ，y = smod(y, a / g); x = (n - b * y) / a; とする．
	// verify : https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_d

	return g;
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	// https://yukicoder.me/problems/no/981

	int t;
	cin >> t;

	rep(hoge, t) {
		int p, k, a;
		cin >> p >> k >> a;

		mint::set_mod(p);

		// r^(p-1) = 1 (mod p), ∀d∈[2..p-1), r^d ≠ 1 (mod p)
		mint r = find_primitive_root();
		dump(r);

		// r^d = a
		int d = log(r, mint(a));
		dump(d);

		// r^(d + y(p-1)) = a なので d + y(p-1) ≡ 0 (mod k) なる y を見つけたい．
		// そのためには k x - (p-1) y = d を解けば良い．
		ll x, y;
		ll g = bezout(k, -(p - 1), d, x, y);
		dump(x, y, g);

		if (g > 0) {
			x = smod(x, (p - 1) / g);
			cout << r.pow(x) << "\n";
		}
		else cout << -1 << "\n";
	}
}
0