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問題 No.2271 平方根の１３桁精度近似計算
ユーザー ecotteaecottea
提出日時 2023-04-14 22:51:03
言語 C++17
(gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果
TLE  
実行時間 -
コード長 10,456 bytes
コンパイル時間 4,505 ms
コンパイル使用メモリ 265,276 KB
実行使用メモリ 13,824 KB
最終ジャッジ日時 2024-10-10 13:50:59
合計ジャッジ時間 10,775 ms
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（参考情報） 		judge2 / judge4
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ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-15;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_list2D(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

//using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);
using mint = static_modint<5>;

istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
#endif


//【二次拡大体】
/*
* a + b √d ∈ F_p(√d) を表す．
*
* set_base(mint d) : O(1)
*	体を F_p(√d) とする（p = mint::mod）
*	制約：√d !∈ F_p
*
* QF() : O(1)
*	0 で初期化する．
*
* QF(mint a) : O(1)
*	a で初期化する．
*
* QF(mint a, mint b) : O(1)
*	a + b √d で初期化する．
*
* x + y, x - y, x * y : O(1)
*	和，差，積を返す．複合代入演算子も使用可．
*
* x / y : O(log p)
*	商を返す．複合代入演算子も使用可．
*
* QF inv() : O(log p)
*	逆元を返す．
*
* QF pow(ll n) : O(log n)
*	n 乗を返す．
*/
struct QF {
	// a + b √d を表す．
	inline static mint d;
	mint a, b;

	// d を定める
	static void set_base(mint d_) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod

		d = d_;
	}

	// 初期化
	QF() : a(0), b(0) {}
	QF(const mint& a) : a(a), b(0) {}
	QF(const mint& a, const mint& b) : a(a), b(b) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod
	}

	// 代入
	QF(const QF&) = default;
	QF& operator=(const QF&) = default;

	// 和
	QF& operator+=(const QF& y) {
		a += y.a; b += y.b;
		return *this;
	}
	QF operator+(const QF& y) const { QF x = *this; return x += y; }

	// 差
	QF& operator-=(const QF& y) {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod

		a -= y.a; b -= y.b;
		return *this;
	}
	QF operator-(const QF& y) const { QF x = *this; return x -= y; }

	// 積
	QF operator*(const QF& y) const {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod

		// (a1 + b1√d)(a2 + b2√d) = (a1 a2 + b1 b2 d) + (a1 b2 + a2 b1)√d
		return QF(a * y.a + b * y.b * d, a * y.b + b * y.a);
	}
	QF& operator*=(const QF& y) { *this = *this * y; return *this; }

	// 逆元
	QF inv() const {
		// 1/(a + b√d) = (a - b√d) / (a^2 - b^2 d)
		mint dnm = (a * a - b * b * d).inv();
		return QF(a * dnm, -b * dnm);
	}

	// 商
	QF& operator/=(const QF& y) { return *this *= y.inv(); }
	QF operator/(const QF& y) const { return *this * y.inv(); }

	// 累乗
	QF pow(ll n) const {
		// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod

		QF res(1), pow2 = *this;
		while (n > 0) {
			if (n & 1) res *= pow2;
			pow2 *= pow2;
			n /= 2;
		}
		return res;
	}
};


//【平方剰余】O(log p)
/*
* x^2 ≡ a (mod p) の解 x の 1 つを返す．（なければ -1）
*
* 制約：p = mint::mod() は素数
*
* 利用：【二次拡大体】
*/
int cipolla(const mint& a) {
	// 参考 : https://37zigen.com/cipolla-algorithm/
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod

	//【方法】
	// a ≡ 0 なら x ≡ 0 でよいから a ≠ 0 と仮定する．
	// p = 2 なら a^2 ≡ a (mod p) より x = a でよいから p は奇素数と仮定する．
	// 
	// オイラーの規準より
	//		a^((p-1)/2) ≡ 1 (mod p) ⇔ a が p を法とする平方剰余
	// である．解が存在しない場合はこれで判定できるので，以下解が存在すると仮定する．
	//
	// p = 3 (mod 4) の場合は，単に x = a^((p+1)/4) を返せば良い．実際，オイラーの規準より
	//		x^2 = a^((p+1)/2) = a * a^((p-1)/2) = a * 1 = a
	// となる．
	//
	// モニックな 2 次多項式 f(b; x) ∈ F_p[x] を
	//		f(b; x) = (x-b)^2 - b^2 + a
	// と定める．f(b; x) の根は
	//		x = b ± √(b^2 - a)
	// と表される．よって α = b^2 - a が平方非剰余であれば f(b; x) は F_p に根をもたず既約となる．
	// そのような b は十分多く存在するので，乱択とオイラーの規準による判定で素早く得ることができる．
	//
	// f(b; x) の 1 つの根 θ !∈ F_p を固定すると，
	// F_p(θ) ~= F_(p^2) におけるフロベニウス写像の性質より f(b; x) の全ての根は
	//		θ, θ^p
	// と表される．f(b; x) についての根と係数の関係より，定数項について
	//		θ θ^p ≡ [x^0] f(b; x) (mod p)
	//		⇔ θ^(1+p) ≡ a (mod p)
	// が成り立つ．p は奇素数より 1+p は偶数なので，
	//		θ^((1+p)/2) ∈ F_p
	// が求める a の平方根である．
	//
	// F_p(θ) = F_p(√(b^2 - a)) なので，この上で θ^((1+p)/2) を計算すればいい．

	// a ≡ 0 (mod p) の場合の例外処理 : O(1)
	if (a == 0) return 0;

	auto p = mint::mod();

	// p = 2 の場合の例外処理 : O(1)
	if (p == 2) return a.val();

	// a が平方非剰余なら -1 を返す． : O(log p)
	if (a.pow((p - 1) / 2) == -1) return -1;

	// p = 3 (mod 4) の場合は簡単に解決する． : O(log p)
	if (p % 4 == 3) return a.pow((p + 1) / 4).val();

	mt19937_64 mt((int)time(NULL));
	uniform_int_distribution<ll> rnd(2, p - 1);

	// b^2 - a が平方非剰余となる適当な b を見つける． : 平均 O(log p)
	mint b;
	while (true) {
		b = rnd(mt);
		if ((b * b - a).pow((p - 1) / 2) == -1) break;
	}

	// 二次拡大体 F_p(√b^2-a) を作る．
	QF::set_base(b * b - a);

	// θ = b + √(b^2 - a) とする．
	QF th(b, 1);

	// θ^((1+p)/2) ∈ F_p を返す． : O(log p)
	return th.pow((1 + p) / 2).a.val();
}


void WA() {
	ll n; int e;
	cin >> n >> e;

	ll res = 0; ll pow5 = 1;

	rep(i, e) {
		// r^2 = n (mod 5)
		int r = cipolla(mint(n));
		dump(i, n, r);
		if (r == -1) EXIT("NaN");

		res += pow5 * r;
		pow5 *= 5;
		n = (n - (r * r % 5)) / 5;
	}

	if (res > 1LL << 29) res -= pow5;

	cout << res << endl;
}


int main() {
	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");
	
	ll n; int e;
	cin >> n >> e;

	int z = 0;
	while (n % 5 == 0) {
		if (n % 25 == 0) {
			z++;
			n /= 25;
		}
		else EXIT("NaN");
	}

	ll res = cipolla(mint(n));
	if (res == -1) EXIT("NaN");
		
	repi(k, 1, e - 1) {
		mint s = mint((n - res * res) / pow(5, k)) / (2 * res);
		res += s.val() * pow(5, k);
	}
	dump(res);

	res *= pow(5, z);

	if (res > 1LL << 29) res -= pow(5, e);

	cout << res << endl;
}
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