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問題 No.665 Bernoulli Bernoulli
ユーザー ecotteaecottea
提出日時 2023-07-27 01:33:06
言語 C++17
(gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果
AC  
実行時間 3 ms / 2,000 ms
コード長 9,383 bytes
コンパイル時間 3,976 ms
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最終ジャッジ日時 2024-10-03 14:16:51
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ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;	using vvvvi = vector<vvvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;	using vvvvl = vector<vvvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004003104004004LL; // (int)INFL = 1010931620;
double EPS = 1e-15;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了
#define inQ(x, y, u, l, d, r) ((u) <= (x) && (l) <= (y) && (x) < (d) && (y) < (r)) // 半開矩形内判定

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline T get(T set, int i) { return (set >> i) & T(1); }

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

#ifdef _MSC_VER
#include "localACL.hpp"
#endif

using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
//using mint = modint; // mint::set_mod(m);

namespace atcoder {
	inline istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
	inline ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
}
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; using vvvvm = vector<vvvm>;
#endif


#ifdef _MSC_VER // 手元環境（Visual Studio）
#include "local.hpp"
#else // 提出用（gcc）
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_mat(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif


//【階乗など（法が大きな素数）】
/*
* Factorial_mint(int N) : O(n)
*	N まで計算可能として初期化する．
*
* mint fact(int n) : O(1)
*	n! を返す．
*
* mint fact_inv(int n) : O(1)
*	1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
*
* mint inv(int n) : O(1)
*	1/n を返す．
*
* mint perm(int n, int r) : O(1)
*	順列の数 nPr を返す．
*
* mint bin(int n, int r) : O(1)
*	二項係数 nCr を返す．
*
* mint mul(vi rs) : O(|rs|)
*	多項係数 nC[rs] を返す．（n = Σrs）
*/
class Factorial_mint {
	int n_max;

	// 階乗と階乗の逆数の値を保持するテーブル
	vm fac, fac_inv;

public:
	// n! までの階乗とその逆数を前計算しておく．O(n)
	Factorial_mint(int n) : n_max(n), fac(n + 1), fac_inv(n + 1) {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b

		fac[0] = 1;
		repi(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i;

		fac_inv[n] = fac[n].inv();
		repir(i, n - 1, 0) fac_inv[i] = fac_inv[i + 1] * (i + 1);
	}
	Factorial_mint() : n_max(0) {} // ダミー

	// n! を返す．
	mint fact(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/dwacon6th-prelims/tasks/dwacon6th_prelims_b

		Assert(0 <= n && n <= n_max);
		return fac[n];
	}

	// 1/n! を返す（n が負なら 0 を返す）
	mint fact_inv(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc289/tasks/abc289_h

		Assert(n <= n_max);
		if (n < 0) return 0;
		return fac_inv[n];
	}

	// 1/n を返す．
	mint inv(int n) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/exawizards2019/tasks/exawizards2019_d

		Assert(0 < n && n <= n_max);
		return fac[n - 1] * fac_inv[n];
	}

	// 順列の数 nPr を返す．
	mint perm(int n, int r) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc172/tasks/abc172_e

		Assert(n <= n_max);

		if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
		return fac[n] * fac_inv[n - r];
	}

	// 二項係数 nCr を返す．
	mint bin(int n, int r) const {
		// verify : https://atcoder.jp/contests/abc034/tasks/abc034_c

		Assert(n <= n_max);
		if (r < 0 || n - r < 0) return 0;
		return fac[n] * fac_inv[r] * fac_inv[n - r];
	}

	// 多項係数 nC[rs] を返す．
	mint mul(const vi& rs) const {
		// verify : https://yukicoder.me/problems/no/2141

		if (*min_element(all(rs)) < 0) return 0;
		int n = accumulate(all(rs), 0);
		Assert(n <= n_max);

		mint res = fac[n];
		repe(r, rs) res *= fac_inv[r];

		return res;
	}
};


//【ラグランジュ補間（一点評価）】O(n)
/*
* 各 i∈[0..n) について f(a i + b) = y[i] を満たす n - 1 次多項式 f についての f(c) を返す．
*
* 制約：fm は n! まで計算可能
*/
mint lagrange_interpolation(int a, int b, const vm& y, mint c, const Factorial_mint& fm) {
	// 参考 : https://37zigen.com/lagrange-interpolation/
	// verify : https://atcoder.jp/contests/arc033/tasks/arc033_4

	//【方法】
	// ラグランジュ基底関数を
	//		f_i(x) = Πj≠i (x - x[j])/(x[i] - x[j])　（x[i] = a i + b）
	// と定めると，
	//		f(c) = Σi=[0..n) y[i] f_i(c)
	// と表される．
	//
	// 基底関数 f_i(x) の評価値 f_i(c) の分子については，左右からの累積積
	//		acc_l[i] = (c - x[0])(c - x[1]) ... (c - x[i - 1])
	//		acc_r[i] = (c - x[i + 1]) ... (c - x[n - 2])(c - x[n - 1])
	// を前計算しておけば計算できる．
	//
	// 分母については x[i] = a i + b であったことを思い出すと
	//		x[i] - x[j] = (a i + b) - (a j + b) = a (i - j)
	// となるので，
	//		Πj≠i a (i - j) = a^(n-1) (-1)^(n-1-i) i! (n-1-i)!
	// と計算できる．

	int n = sz(y);

	// acc_l[i] = (c - x[0])(c - x[1]) ... (c - x[i - 1])
	vm acc_l(n);
	acc_l[0] = 1;
	repi(i, 1, n - 1) acc_l[i] = acc_l[i - 1] * (c - (mint(a) * (i - 1) - b));

	// acc_r[i] = (c - x[i + 1]) ... (c - x[n - 2])(c - x[n - 1])
	vm acc_r(n);
	acc_r[n - 1] = 1;
	repir(i, n - 2, 0) acc_r[i] = (c - (mint(a) * (i + 1) - b)) * acc_r[i + 1];

	// ラグランジュ基底の線形結合を計算する．
	mint res = 0;
	rep(i, n) {
		res += y[i] * acc_l[i] * acc_r[i] * ((n - 1 - i) & 1 ? -1 : 1)
			* fm.fact_inv(i) * fm.fact_inv(n - 1 - i);
	}
	return res * mint(a).pow(n - 1);
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");
	
	ll n; int k;
	cin >> n >> k;

	vm a(k + 10);
	repi(i, 1, k + 9) a[i] = a[i - 1] + mint(i).pow(k);

	Factorial_mint fm(k + 10);
	cout << lagrange_interpolation(1, 0, a, mint(n), fm) << endl;
}
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