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問題 No.2191 一元二次式 mod 奇素数
ユーザー ecotteaecottea
提出日時 2023-01-19 23:50:25
言語 C++14
(gcc 12.3.0 + boost 1.83.0)
結果
AC  
実行時間 2 ms / 2,000 ms
コード長 7,829 bytes
コンパイル時間 4,140 ms
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最終ジャッジ日時 2023-09-04 18:36:16
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ソースコード

diff # 

#ifndef HIDDEN_IN_VS // 折りたたみ用

// 警告の抑制
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

// ライブラリの読み込み
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 型名の短縮
using ll = long long; // -2^63 ～ 2^63 = 9 * 10^18（int は -2^31 ～ 2^31 = 2 * 10^9）
using pii = pair<int, int>;	using pll = pair<ll, ll>;	using pil = pair<int, ll>;	using pli = pair<ll, int>;
using vi = vector<int>;		using vvi = vector<vi>;		using vvvi = vector<vvi>;
using vl = vector<ll>;		using vvl = vector<vl>;		using vvvl = vector<vvl>;
using vb = vector<bool>;	using vvb = vector<vb>;		using vvvb = vector<vvb>;
using vc = vector<char>;	using vvc = vector<vc>;		using vvvc = vector<vvc>;
using vd = vector<double>;	using vvd = vector<vd>;		using vvvd = vector<vvd>;
template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
using Graph = vvi;

// 定数の定義
const double PI = acos(-1);
const vi DX = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍（下，右，上，左）
const vi DY = { 0, 1, 0, -1 };
int INF = 1001001001; ll INFL = 4004004004004004004LL;
double EPS = 1e-12;

// 入出力高速化
struct fast_io { fast_io() { cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false); cout << fixed << setprecision(18); } } fastIOtmp;

// 汎用マクロの定義
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define lbpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::lower_bound(all(a), x))
#define ubpos(a, x) (int)distance((a).begin(), std::upper_bound(all(a), x))
#define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes\n" : "No\n");}
#define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順
#define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順
#define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順
#define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素（変更不可能）
#define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素（変更可能）
#define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索（昇順）
#define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て（昇順）
#define smod(n, m) ((((n) % (m)) + (m)) % (m)) // 非負mod
#define uniq(a) {sort(all(a)); (a).erase(unique(all(a)), (a).end());} // 重複除去
#define EXIT(a) {cout << (a) << endl; exit(0);} // 強制終了

// 汎用関数の定義
template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; }
template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新（更新されたら true を返す）
template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新（更新されたら true を返す）

// 演算子オーバーロード
template <class T, class U> inline istream& operator>>(istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; }
template <class T> inline istream& operator>>(istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; }
template <class T> inline vector<T>& operator--(vector<T>& v) { repea(x, v) --x; return v; }
template <class T> inline vector<T>& operator++(vector<T>& v) { repea(x, v) ++x; return v; }

// 手元環境（Visual Studio）
#ifdef _MSC_VER
#include "local.hpp"
// 提出用（gcc）
#else
inline int popcount(int n) { return __builtin_popcount(n); }
inline int popcount(ll n) { return __builtin_popcountll(n); }
inline int lsb(int n) { return n != 0 ? __builtin_ctz(n) : -1; }
inline int lsb(ll n) { return n != 0 ? __builtin_ctzll(n) : -1; }
inline int msb(int n) { return n != 0 ? (31 - __builtin_clz(n)) : -1; }
inline int msb(ll n) { return n != 0 ? (63 - __builtin_clzll(n)) : -1; }
#define gcd __gcd
#define dump(...)
#define dumpel(v)
#define dump_list(v)
#define dump_list2D(v)
#define input_from_file(f)
#define output_to_file(f)
#define Assert(b) { if (!(b)) while (1) cout << "OLE"; }
#endif

#endif // 折りたたみ用


#if __has_include(<atcoder/all>)
#include <atcoder/all>
using namespace atcoder;

//using mint = modint1000000007;
//using mint = modint998244353;
using mint = modint; // mint::set_mod(m);

istream& operator>>(istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; }
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; }
using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>;
#endif


//【平方剰余】O((log p)^2)
/*
* x^2 = a mod p の解 x の 1 つを返す．（なければ -1）
*
* 制約 : p = mint::mod() は素数
*/
int tonelli_shanks(const mint& a) {
	// 参考：https://tjkendev.github.io/procon-library/python/math/tonelli-shanks.html
	// verify : https://judge.yosupo.jp/problem/sqrt_mod

	//【方法】
	// p = mod, p-1 = 2^d q（q : 奇数）と表しておく．
	// 
	// a = 0 のときは 0^2 = 0 なので単に 0 を返せば良い．
	// 
	// p = 2 のときは x^2 = x (mod 2) なので単に a を返せば良い．
	// 
	// a が平方非剰余の場合を検出するには，オイラーの規準より
	//		a が平方非剰余 ⇔ a^((p-1)/2) = -1
	// であることを用いてればよい．この場合は -1 を返す．
	// 
	// p = 3 (mod 4) の場合は，単に x = a^((p+1)/4) を返せば良い．実際，オイラーの規準より
	//		x^2 = a^((p+1)/2) = a * a^((p-1)/2) = a * 1 = a
	// となる．
	// 
	// 以降の手順のため，オイラーの規準を用いて適当な平方非剰余 z を見つけておく．
	//
	// t = a^q と初期化する．a は平方剰余なので，オイラーの規準より
	//		t^(2^(d-1)) = a^(2^(d-1) q) = a^((p-1)/2) = 1
	// となる．
	//
	// i∈[d-2..0] について，t^(2^i) = -1 であれば
	//		t *= z^(2^(d-i-1) q)
	// と t を更新する．この因子の 2^i 乗は
	//		(z^(2^(d-i-1) q))^(2^i) = z^(2^(d-1) q) = z^((p-1)/2) = -1
	// より -1 なので，この更新により t^(2^i) = 1 となる．
	// i = 0 まで更新を終えれば最終的に t = 1 となり，ここまでの手順から
	//		1 = a^q z^(2^(d-i[1]-1) q) ... z^(2^(d-i[k]-1) q)
	// の形の等式が得られる．
	//
	// 先の等式を用いれば，求める x は
	//		x = (1 a)^(1/2)
	//		= (a^(q+1) z^(2^(d-i[1]-1) q) ... z^(2^(d-i[k]-1) q))^(1/2)
	//		= a^((q+1)/2) z^(2^(d-i[1]-2) q) ... z^(2^(d-i[k]-2) q)
	// と表される．

	// 法 p を得る．
	int p = mint::mod();

	// a = 0 の場合の例外処理
	if (a == 0) return 0;

	// p = 2 の場合の例外処理
	if (p == 2) return a.val();

	// a が平方非剰余なら -1 を返す．
	if (a.pow((p - 1) / 2) == -1) return -1;

	// p = 3 (mod 4) の場合は簡単に解決する．
	if (p % 4 == 3) return a.pow((p + 1) / 4).val();

	// mod - 1 = 2^d q（q : 奇数）なる d, q を得る．
	int q = p - 1, d = 0;
	while (q % 2 == 0) {
		q /= 2;
		d++;
	}

	mt19937_64 mt((int)time(NULL));
	uniform_int_distribution<ll> rnd(2, p - 1);

	// 適当な平方非剰余 z を見つける．
	mint z; vm z_pow(d); // z_pow[i] = z^(2^i q)
	while (true) {
		z = rnd(mt);

		z_pow[0] = z.pow(q);
		repi(i, 1, d - 1) z_pow[i] = z_pow[i - 1] * z_pow[i - 1];

		if (z_pow[d - 1] == -1) break;
	}

	// t を更新しつつ結果を得る．
	mint tmp = a.pow((q - 1) / 2), res = tmp * a, t = tmp * res;
	repir(i, d - 2, 0) {
		if (t.pow(1LL << i) == -1) {
			t *= z_pow[d - i - 1];
			res *= z_pow[d - i - 2];
		}
	}

	return res.val();
}


int main() {
//	input_from_file("input.txt");
//	output_to_file("output.txt");

	int p;
	cin >> p;

	mint::set_mod(p);

	mint k = (p - 1) / 2;

	mint D = 9 - 4 * (k * k + 4 * k + 2);
	int res = tonelli_shanks(D);

	cout << (res != -1 ? "YES" : "NO") << endl;
}
0